Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 2.7 - Ex. 30
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Passo 1
Começamos da definição de derivada em um ponto qualquer, que é essa aqui:
Agora a gente vai escrever quem é e quem é para jogarmos na nossa fórmula, tranquilo? Dá uma olhada:
Fazendo :
Agora, fazendo :
Esses dois caras vão ser substituídos na expressão do noss limite, aí vai ficar desse jeitinho aqui:
Passo 2
Agora, nós vamos escrever o limite de uma forma que nós ajude a resolver o problema, fechou? Vou primeiro deixar ela assim:
Arrumamos a primeira raíz do numerador um pouco, eliminando os parênteses de dentro, fazendo a multiplicação por .
Para fazer aparecer números fora da raíz no numerador, temos que multiplicar pelo conjugado dele, que é . A multiplicação tem que ser tanto em cima quanto em baixo, beleza? É isso aqui que vamos fazer:
Agora, nós temos o do produto da soma pela diferença no numerador, que é um produto notável. Seu resultado é o quadrado do primeiro termo vezes o quadrado do segundo termo. Seguindo essa regra, saca só o que a gente vai ter:
Cancelando as potências com as raízes, vai dar isso aqui:
Fazendo as continhas no numerador, vamos ter:
Aí, ta tudo beleza agora! Arrumamos a expressão o suficiente, agora podemos tentar achar o valor desse limite!
Passo 3
Se substituirmos para tentar resolver o limite na expressão que temos, encontraremos a indeterminação . A gente pode resolver isso se cancelarmos o do numerador com o do denominador:
A indeterminação já era! Vamos agora fazer a substituição de novo, na expressão sem indeterminação, para resolver o limite, tranquilo? Saca só:
E chegamos na nossa expressão final! É só fazer com calma, seguindo o passo a passo que dá tudo certo ;)
Resposta
Teremos que .