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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 2.7 - Ex. 34

Cada limite representa a derivada de certa função f em certo número a . Diga quem é f e a em cada caso.

lim h → 0 ⁡ 16 + h 4 - 2 h

Passo 1

E aí, pessoal! 😉

Para resolver esse exercício, vamos comparar o limite do enunciado com a fórmula da derivada em um ponto a qualquer, que é essa aqui:

f ' a = lim h → 0 ⁡ f a + h - f a h

A forma mais simples de fazer isso e encontrar quem é f ( a + h ) no limite do enunciado. Vou igualar o nosso limite com a fórmula:

lim h → 0 ⁡ 16 + h 4 - 2 h = lim h → 0 ⁡ f a + h - f a h

Agora, temos que imaginar que função f e ponto a satisfazem essas condições. Quando tivermos um palpite bom, testamos e vemos se funciona mesmo. Para visualizar melhor uma primeira saída, podemos tentar fazer essa consideração aqui:

f a + h = 16 + h 4

f a = 2

É bom atentar que para resolver esse tipo de questão não tem beeeeeem um método fixo, mas quando conhecemos bem o comportamento das funções, sabemos trabalhar com limites e tudo mais, a gente consegue ter um palpite legal, então é questão de treino mesmo, fechou?

Veja só! 😎

Passo 2

Agora, temos que achar os nossos palpites! Olhando a expressão de f ( a + h ) , o primeiro palpite que podemos ter é f x = x 4 e a = 16 . Supondo que isso é verdade, vamos escrever quem seria f ( 16 ) , f ( 16 + h ) e jogar na expressão da derivada no ponto:

f 16 = 16 4 = 2

f 1 6 + h = 16 + h 4

Agora, jogando na expressão da derivada:

f ' 16 = lim h → 0 ⁡ 16 + h 4 - 2 h

Pronto! Sabemos que f x = x 4 e a = 16 é uma solução para o nosso problema!

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

A questão poderia acabar no passo 2 já – nos é dito para falarmos quem é f e quem é a . Acontece que, nesse caso a gente tem uma outra possível solução: considerar que o ponto vai ser a = 0 e f x = 16 + x 4 . Escrevendo quem seria f ( 0 ) e f ( 0 + h ) , teremos:

f 0 = 16 + 0 4 = 16 4 = 2

f 0 + h = 16 + 0 + h 4 = 16 + h 4

Jogando na expressão da nossa derivada, vamos ter:

f ' 0 = lim h → 0 ⁡ 16 + h 4 - 2 h

Ou seja: se o seu palpite foi a = 0 e f x = 1 + x 10 , Beleza! Também tá 100% certo :)

Entendeu tudo? Responde Aí! 😊

Resposta

f x = x 4   e   a = 16

ou

f x = 16 + x 4   e   a = 0

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