Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 2.7 - Ex. 36
Cada limite representa a derivada de certa função em certo número . Diga quem é e em cada caso.
Passo 1
Assustou com a questão? Relaxa que a gente vai resolver tim tim po tim tim, vem comigo!
O enunciado nos apresentou um limite que representa a derivada de uma função em um certo número . O limite apresentado representa o limite de uma função quando se aproxima de . Esse tipo de limite é uma forma de determinar a taxa de variação instantênea de uma função em um ponto específico .
Até aqui tudo beleza?
Para resolver esse exercício, vamos comparar o limite do enunciado com a fórmula da derivada em um ponto qualquer:
Essa daí é uma das definições de derivada, beleza? A outra mais famosa (com o sozinho no denominador) é equivalente à essa!
Agora, vamos comparar os dois limites igualando eles:
Comparando os numeradores, podemos perceber que a função seja contínua em , sendo assim, para que seja verdadeiro:
Temos que
Essa aqui é só olhar, comparar e pronto! Chegamos à conclusão de que e , fechou?
Passo 2
Aqui, a gente vai só confirmar se a nossa resposta ta batendo, aí podemos ter certeza de que fizemos tudo direitinho!
Na expressão da derivada no ponto, vamos substituir o valor de e . O único que não temos é , então vamos calculá-lo:
Substituindo na expressão:
Pronto! Conferimos a nossa resposta e não resta sombra de dúvida da solução! Sempre que der, dá essas checadas nas questões para ganhar uma confiança e sair arrasando nas provas ;)
Resposta
Teremos que e .