Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.1 - Ex. 10
Seja .
(a) Calcule .
(b) Determine o domínio de .
(c) Determine a imagem de .
Passo 1
Falaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos deu a seguinte expressão:
Queremos primeiramente calcular . Para isso, basta compararmos os valores de e que nos foram dados e perceber que:
Assim é só substituir na função!! 😉
Em seguida, deveremos determinar o domínio e a imagem dessa função.
Para encontrar o domínio, precisamos determinar os valores de e que não causam problemas (divisão por zero, raízes de números negativos, logaritmos de números não positivos).
Já para encontrarmos a imagem, devemos buscar os valores de que a função pode assumir ao avaliar todos os e do domínio.
Passo 2
Vamos primeiro calcular .
Assim, sabemos que:
Logo, substituindo na função, obtemos:
Já que .
Passo 3
Queremos determinar o domínio de .
Ou seja, queremos saber que valores de ,z que podem ser usados para que seja real.
Para definir o domínio, é melhor olhar para as restrições.
O deve ser um número positivo e diferente de zero, ou seja: .
Assim, o domínio de é:
Vale notar que o domínio compreende o interior da esfera centrada na origem e de raio .
Passo 4
Agora queremos determinar a imagem de .
Ou seja, se usarmos todas as combinações possíveis de valores do domínio, quais serão todos os valores possíveis de ?
Assim como fizemos para o domínio, vamos dar uma olhada nas restrições.
Sabemos que:
Multiplicando por :
Somando :
Aplicando o :
Assim:
Logo, a imagem de está no intervalo .
Resposta
(a)
(b) O domínio de é .
(c) A imagem de está no intervalo .