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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.1 - Ex. 9

Seja f x , y , z =   e z - x 2 - y 2 .

(a) Calcule f 2 ,   - 1 ,   6 .

(b) Determine o domínio de f .

(c) Determine a imagem de f .

Passo 1

Falaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos deu a seguinte expressão:

f x , y , z =   e z - x 2 - y 2

Queremos primeiramente calcular f 2 ,   - 1 ,   6 . Para isso, basta compararmos os valores de x ,   y e z que nos foram dados e perceber que:

x = 2

y = - 1

z = 6

Assim é só substituir na função!! 😉

Em seguida, deveremos determinar o domínio e a imagem dessa função.

Para encontrar o domínio, precisamos determinar os valores de x , y e z que não causam problemas (divisão por zero, raízes de números negativos, logaritmos de números não positivos).

Já para encontrarmos a imagem, devemos buscar os valores de g x , y , z que a função pode assumir ao avaliar todos os x , y e z do domínio.

Passo 2

Vamos primeiro calcular f 2 ,   - 1 ,   6 .

Assim, sabemos que:

x = 2

y = - 1

z = 6

Logo, substituindo na função, obtemos:

f 2 , - 1,6 =   e 6 - 2 2 - - 1 2

f 2 , - 1,6 =   e 6 - 4 - 1

f 2 , - 1,6 = e 1

f 2 , - 1,6 = e

Passo 3

Queremos determinar o domínio de f ( x , y , z ) . Ou seja, queremos saber que valores de x , y e z podem ser usados para que f ( x , y , z ) seja real.

Para definir o domínio, é melhor olhar para as restrições.

f x , y , z =   e z - x 2 - y 2

Analisando a função, para que f exista, aquela raiz tem que ser positiva!!

Como z - x 2 - y 2 está dentro da raiz, então:

z - x 2 - y 2 ≥ 0

Simplificando, temos:

z ≥ x 2 + y 2

Assim, o domínio D é:

D = x , y , z z ≥ x 2 + y 2 }

Passo 4

Queremos determinar a imagem de f ( x , y , z ) . Ou seja, se usarmos todas as combinações possíveis de valores do domínio, quais serão todos os valores possíveis de f ( x , y , z ) ?

Assim como fizemos para o domínio, vamos dar uma olhada nas restrições.

Como z - x 2 - y 2 ≥ 0 , então:

e z - x 2 - y 2 ≥ 1

Assim, a imagem de f x , y , z está no intervalo [ 1 ,   ∞ ) .

Resposta

(a) f 2 , - 1,6 = e

(b) O domínio é x , y , z z ≥ x 2 + y 2 }   .

(c) A imagem de f ( x , y , z ) está no intervalo [ 1 , ∞ ) .

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