Seja .

a) Que condições e devem satisfazer para que seja ponto de inflexão de ? Justifique.

b) Existem e que tornam ponto de inflexão horizontal? Em caso afirmativo, determine-os.

Com a generalização feita no Exercício 6, vemos que qualquer uma das condições seguintes são suficientes para que seja ponto de inflexão de :

e

ou e

ou e

ou

Porém, como já calculamos para todo , só será possível usar as duas primeiras condições, pois as demais nunca serão verdadeiras. Então, teremos:

e

ou e

Agora vamos aplicar nas derivadas que calculamos no Passo 1:

Então, a condição e implicará:

e

e

e

A outra condição possível, conforme já vimos, será:

e

e e e

e e

e e

Porém, não pode ter dois valores diferentes ao mesmo tempo, contradição!

Logo, a única condição para e será a que obtivemos no passo 3:

e

b) Para que seja ponto de inflexão horizontal, além da condição já encontrada no item a), devemos ter :

Porém, já devemos ter :

E então substituímos na expressão de :

Logo, existem e que tornam ponto de inflexão horizontal, sendo eles:

e