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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.7 - Ex. 9b

Seja γ : I → R 2 uma curva derivável até a 2ª ordem, com γ ' t ≠ 0 no intervalo I . Seja s t = ∫ t 0 t γ ' u d u ,     t ∈ I , com t 0 fixo em I . Sejam, ainda, T → t = γ ' t γ ' t o versor de γ ' t e t → s dada por t → s = T → t , onde t = t s . Mostre que

d t → s d s = γ ' ' t γ ' t 2 - γ ' ' t ∙ γ ' t γ ' t γ ' t 4

Passo 1

O enunciado fornece uma expressão para o versor T → t = t → s (que nada mais é que um vetor que é função do γ ) e pede para acharmos a devirada de t em relação a s , comparando com o valor dado.

Este problema não tem segredo! Basta aplicar o que já sabemos de derivada com muita calma nessa hora e uma dessas o resultado sairá!

Note que podemos economizar um esforço danado se aproveitarmos os resultados do item anterior!

Passo 2

De fato, o enunciado fala que T → t = t → s . Logo, pela regrada da cadeia, deve ser verdade que

d t → s d s = d T → t d s = d T → t d t d t s d s

Mas perai!! O valor de d T → t d t já foi obtido no item anterior hehe. Logo,

d t → s d s = γ ' ' t γ ' t 2 - γ ' ' t ∙ γ ' t γ ' t γ ' t 3 d t s d s

Mas quanto vale d t s d s = t ' ? Bem, novamente, num exercício anterior já deduzimos que t ' = 1 s ' , onde o s ' era dado por:

s ' t = γ ' t

Esta mania de reaproveitar resultados resulta pra lá de vantajosa: Acabamos de resolver o exercício só substituindo valores!! De fato, o resultado final é

d t → s d s = γ ' ' t γ ' t 2 - γ ' ' t ∙ γ ' t γ ' t γ ' t 4

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Encontre o comprimento do caminho percorrido por uma partícula que se move ao longo das curvas de equações dadas durante o intervalo de tempo especificado em cada um dos casos abaixo:b) σ t = a cos ⁡