Encontre o comprimento do caminho percorrido por uma partícula que se move ao longo das curvas de equações dadas durante o intervalo de tempo especificado em cada um dos casos abaixo:

d) σ(t) = (t, 3 * t^2, 6 * t^3), 0 ≤ t ≤ 2

Passo 1

Aplicação diretaaassa de fórmula galera. O comprimento do caminho da partícula é dado por:

L C = ∫ a b σ ' t d t

Nesse caso, temos:

σ t = t ,   3 t 2 ,   6 t 3 ,                           0 ≤ t ≤ 2

σ ' t = 1,6 t , 18 t 2

σ ' t = 1 2 + 6 t 2 + 18 t 2 2

σ ' t = 1 + 36 t 2 + 18 2 t 4

σ ' t = 1 + 2 ∙ 18 ∙ t 2 + 18 2 ∙ t 4

σ ' t = 1 + 18 t 2 2

σ ' t = 1 + 18 t 2

O comprimento do arco será então:

L C = ∫ 0 2 1 + 18 t 2   d t

L C = t + 6 t 3 0 2 = 2 + 6 ∙ 2 3 - 0 - 6 ∙ 0 3 = 50

Resposta

L C = 50     u . c .

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