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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.9 - Ex. 68

Seja

I = ∫ - 1 1 1 1 + x 2 d x

(a) Explique por que I   >   0  

(b) Mostre que a substituição x   =   1 / u resulta em

I = - ∫ - 1 1 1 1 + x 2 d x = - I

Logo, 2 I   =   0 , implicando I   =   0 . No entanto, isso contradiz (a). Qual é o erro?

Passo 1

(a) Cara, essa integral tem que ser maior que 0 porque a função no integrando só assume valores positivos para qualquer valor de x .

Por que? Porque ela uma fração, e no denominador temos a soma de um termo positivo com um termo ao quadrado (que é sempre positivo). Então, como:

1 1 + x 2 > 0

A soma dos valores que essa função vai assumir (a integral), em qualquer intervalo, precisa ser maior que zero:

∫ a b 1 1 + x 2 d x > 0

Logo:

I = ∫ - 1 1 1 1 + x 2 d x > 0

Passo 2

(b) Vamos usar a substituição:

x = 1 u

d x d u = - 1 u 2 ∴ d x = - d u u 2

Os extremos de integração ficam:

x = 1 u ∴ u = 1 x

u 1 = 1 - 1 = - 1 ,     u 2 = 1 1 = 1

Substituindo na integral e fazendo o mmc na continha que aparece embaixo:

I = ∫ - 1 1 1 1 + x 2 d x = ∫ - 1 1   1 1 + 1 u 2 - 1 u 2   d u = - ∫ - 1 1 u 2 u 2 + 1 - 1 u 2   d u

I = - ∫ - 1 1 1 u 2 + 1 d u

O valor de duas integrais definidas é o mesmo se o integrando e os extremos de integração forem os mesmos, independendo da variável usada. Logo a gente pode dizer que:

I = - ∫ - 1 1 1 u 2 + 1 d u = - ∫ - 1 1 1 x 2 + 1 d x = - I

Passo 3

O enunciado diz que essa substituição leva a:

I = - I ∴ 2 I = 0 ∴ I = 0

Mas isso contradiz o que a gente disse na letra (a):

I > 0

O problema aqui é que usamos a substituição:

x = 1 u ∴ u = 1 x

Mas no intervalo [ - 1,1 ] , essa função u não é contínua. Há uma descontinuidade em x = 0 . Logo essa substituição não era válida para esse intervalo.

Por isso esse resultado que a gente achou não é verdadeiro.

Resposta

(a) Prova nos passos

(b) Prova nos passos.

u = 1 x não é contínua em [ - 1,1 ]

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