Conforme a figura a seguir, um buraco cilíndrico é feito passando pelo centro de uma esfera. Mostre que o volume do sólido remanescente depende somente do comprimento do buraco e não do tamanho da esfera.

Podemos pensar que o nosso sólido é obtido pela rotação em torno de da área que está entre as retas e . E que também está dentro da circunferência .

Mas repara que essa região é simétrica em relação a . Então a área acima desse eixo e abaixo são iguais. Podemos dizer então que o nosso volume vai ser duas vezes o volume obtido pela rotação da área de cima.

Aplicando cascas cilíndricas, vemos que essa área está no intervalo e entre a função e o eixo . Por isso, a fórmulinha fica assim:

Mas nosso volume total é duas vezes esse volume, então temos que calcular:

Agora a gente calcula essa integral. Podemos usar uma substituição simples:

A integral fica:

Voltando para , já que :

Você deve estar pensando: ué, mas esse resultado depende de , então depende do tamanho da esfera. Nem aparece o ali.

Realmente, você tem razão. Mas relaxa. A gente pode usar nossa esperteza aqui. Olha essa figura:

Tem um triângulo retângulo ali. Isso significa que a gente pode usar Pitágoras, nosso teorema amigo, para escrever:

Com isso, a gente pode reescrever o volume. Fica assim:

E assim, a gente prova que o volume só depende de . Arrasamos!