Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.4 - Ex. 26
Suponha que nenhum segmento da curva
seja percorrido mais de uma vez quando cresce de até . Divida o intervalo em subintervalos inserindo pontos entre e . Seja o comprimento de arco da curva. Dê um argumento informal para justificar a aproximação
Se e forem funções contínuas de , então pode ser mostrado que, quando , essa soma converge a
Passo 1
Cara, a ideia aqui é seguir o mesmo raciocínio da teoria, para chegar nessas fórmulas. A única diferença é que agora e são funções de um parâmetro .
Vamos começar dividindo o intervalo em subintervalos entre os pontos:
Dentro desses intervalos menores, vamos considerar a nossa função como uma reta. Logo, temos um caminho poligonal que aproxima a curva.
O comprimento total dessa curva vai ser a soma do comprimento desses segmentos bem pequenos. Belezinha? Vamos continuar!
Passo 2
O comprimento do segmento de reta que liga o k-ésimo ponto e o ponto antes dele é dado pela fórmula:
Que é a fórmula da distância entre dois pontos.
Somando todos os comprimentos de todos os segmentos, o comprimento total é aproximadamente:
Que é o que o enunciado pediu.
Passo 3
Para transformar isso numa soma de Riemann vamos usar o Teorema do Valor médio:
Aí podemos reescrever a soma:
Logo, temos apenas uma variável e podemos calcular o limite como uma soma de Riemann:
Resposta
Prova nos passos