Suponha que nenhum segmento da curva

x   =   x ( t ) ,   y   =   y ( t ) ,   ( a   ≤   t   ≤   b )

seja percorrido mais de uma vez quando t cresce de a até b . Divida o intervalo [ a ,   b ] em n subintervalos inserindo pontos t 1 ,   t 2 , . . . ,   t n - 1 entre a   =   t 0 e b   =   t n . Seja L o comprimento de arco da curva. Dê um argumento informal para justificar a aproximação

L ≈ ∑ k = 1 n x t k - x t k - 1 2 + y t k - y t k - 1 2

Se d x / d t e d y / d t forem funções contínuas de a   ≤   t   ≤   b , então pode ser mostrado que, quando Δ t k → 0 , essa soma converge a

L = ∫ a b d x d t 2 + d y d t 2 d t

Passo 1

Cara, a ideia aqui é seguir o mesmo raciocínio da teoria, para chegar nessas fórmulas. A única diferença é que agora x e y são funções de um parâmetro t .

Vamos começar dividindo o intervalo [ a , b ] em subintervalos entre os pontos:

a = t 0 < t 1 < … < t n - 1 < t n = b

Dentro desses intervalos menores, vamos considerar a nossa função como uma reta. Logo, temos um caminho poligonal que aproxima a curva.

O comprimento total dessa curva vai ser a soma do comprimento desses segmentos bem pequenos. Belezinha? Vamos continuar!

Passo 2

O comprimento do segmento de reta que liga o k-ésimo ponto x t k , y t k e o ponto antes dele x t k - 1 , y t k - 1 é dado pela fórmula:

l = x t k - x t k - 1 2 + y t k - y t k - 1 2

Que é a fórmula da distância entre dois pontos.

Somando todos os comprimentos de todos os segmentos, o comprimento total é aproximadamente:

S ≈ ∑ k = 1 n x t k - x t k - 1 2 + y t k - y t k - 1 2

Que é o que o enunciado pediu.

Passo 3

Para transformar isso numa soma de Riemann vamos usar o Teorema do Valor médio:

y t k - y t k - 1 t k - t k - 1 = y ' t k * ∴ y t k - y t k - 1 = y ' t k *   t k - t k - 1

x t k - x t k - 1 t k - t k - 1 = x ' t k * ∴ x t k - x t k - 1 = x ' t k *   t k - t k - 1

Aí podemos reescrever a soma:

S ≈ ∑ k = 1 n x ' t k *   t k - t k - 1 2 + y ' t k *   t k - t k - 1 2

S ≈ ∑ k = 1 n x ' t k * 2 + y ' t k *   2 × t k - t k - 1

S ≈ ∑ k = 1 n x ' t k * 2 + y ' t k *   2     Δ t k

Logo, temos apenas uma variável e podemos calcular o limite Δ t k → 0 como uma soma de Riemann:

L = ∫ a b d x d t 2 + d y d t 2 d t

Resposta

Prova nos passos

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