Suponha que nenhum segmento da curva x=x ( t ) ,y=y ( t ) ,( a≤t≤b ) seja percorrido mais de uma vez quando t cresce de a até b . Divida o intervalo [ a ,b ] em n subintervalos inserindo pontos t 1 ,t 2 , . . . ,t n - 1 entre a=t 0 e b=t n . Seja L o comprimento de arco da curva. Dê um argumento informal para justificar a aproximação L ≈ ∑ k = 1 n x t k - x t k - 1 2 + y t k - y t k - 1 2 Se d x / d t e d y / d t forem funções contínuas de a≤t≤b , então pode ser mostrado que, quando Δ t k → 0 , essa soma converge a L = ∫ a b d x d t 2 + d y d t 2 d t

Enunciado

Cara, a ideia aqui é seguir o mesmo raciocínio da teoria, para chegar nessas fórmulas. A única diferença é que agora e são funções de um parâmetro .

Vamos começar dividindo o intervalo em subintervalos entre os pontos:

Dentro desses intervalos menores, vamos considerar a nossa função como uma reta. Logo, temos um caminho poligonal que aproxima a curva.

O comprimento total dessa curva vai ser a soma do comprimento desses segmentos bem pequenos. Belezinha? Vamos continuar!

O comprimento do segmento de reta que liga o k-ésimo ponto e o ponto antes dele é dado pela fórmula:

Que é a fórmula da distância entre dois pontos.

Somando todos os comprimentos de todos os segmentos, o comprimento total é aproximadamente:

Que é o que o enunciado pediu.

Para transformar isso numa soma de Riemann vamos usar o Teorema do Valor médio:

Aí podemos reescrever a soma:

Logo, temos apenas uma variável e podemos calcular o limite como uma soma de Riemann:

Prova nos passos