Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.9 - Ex. 69a
(a) Prove que, se for uma função ímpar, então
e dê uma explicação geométrica desse resultado.
[Sugestão: Uma forma de provar que uma quantidade é zero é mostrar que .]
Passo 1
Vamos refletir. Uma função ímpar tem essa propriedade:
Podemos aplicar a substituição na integral do enunciado:
A integral fica:
Passo 2
Vamos aplicar uma propriedade de integral e a própria propriedade da função ímpar:
O valor de duas integrais definidas é o mesmo se o integrando e os extremos de integração forem os mesmos, independendo da variável usada. Logo a gente pode dizer que:
Jogando todas as integrais para um lado só:
Provamos!
Passo 3
Uma forma geométrica de provar isso é que a função ímpar é simétrica em relação à origem. E isso implica em:
Ou seja, a área líquida do gráfico da função à esquerda do eixo tem o mesmo valor mas sinal negativo em relação à área do lado direito.
O que leva a gente a pensar que:
Isso acontece, por exemplo, com no intervalo .
Resposta
Prova nos passos