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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.9 - Ex. 69a

(a) Prove que, se f for uma função ímpar, então

∫ - a a f ( x ) d x = 0

e dê uma explicação geométrica desse resultado.

[Sugestão: Uma forma de provar que uma quantidade q é zero é mostrar que q   =   - q .]

Passo 1

Vamos refletir. Uma função ímpar tem essa propriedade:

f - x = - f ( x )

Podemos aplicar a substituição x = - u na integral do enunciado:

d x d u = - 1 ∴ d x = - d u

x = - u ∴ u = - x

u 1 = a ,     u 2 = - a

A integral fica:

∫ - a a f ( x ) d x = - ∫ a - a f - u d u

Passo 2

Vamos aplicar uma propriedade de integral e a própria propriedade da função ímpar:

∫ - a a f ( x ) d x = - ∫ a - a f - u d u = ∫ a - a f u d u = - ∫ - a a f u d u

O valor de duas integrais definidas é o mesmo se o integrando e os extremos de integração forem os mesmos, independendo da variável usada. Logo a gente pode dizer que:

∫ - a a f ( x ) d x = - ∫ - a a f u d u = - ∫ - a a f x d x

∫ - a a f x d x = - ∫ - a a f x d x

Jogando todas as integrais para um lado só:

2 ∫ - a a f x d x = 0 ∴ ∫ - a a f x d x = 0

Provamos!

Passo 3

Uma forma geométrica de provar isso é que a função ímpar é simétrica em relação à origem. E isso implica em:

∫ - a 0 f ( x ) d x = - ∫ 0 a f ( x ) d x

Ou seja, a área líquida do gráfico da função à esquerda do eixo y tem o mesmo valor mas sinal negativo em relação à área do lado direito.

O que leva a gente a pensar que:

∫ - a a f ( x ) d x = ∫ - a 0 f ( x ) d x + ∫ 0 a f ( x ) d x = 0

Isso acontece, por exemplo, com s e n   x no intervalo - π 2 , π 2 .

Resposta

Prova nos passos

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