Mostre que, se f e g forem contínuas, então

∫ 0 t f t - x g x d x = ∫ 0 t f x g ( t - x ) d x

Passo 1

Vamos provar essa igualdade usando, na primeira integral, a substituição:

u = t - x ∴ x = t - u

d u d x = - 1 ∴ - d u = d x

Os extremos de integração ficam assim:

u 1 = t - 0 = t

u 2 = t - t = 0

Substituindo tudo na integral:

∫ 0 t f t - x g x d x = - ∫ t 0 f u g ( t - u ) d u

Passo 2

Agora, vamos dar uma mexida nessas contas. A gente pode usar uma propriedade das integrais e dizer que:

∫ 0 t f t - x g x d x = - ∫ t 0 f u g t - u d u = ∫ 0 t f u g ( t - u ) d u

∫ 0 t f t - x g x d x = ∫ 0 t f u g ( t - u ) d u

Quando a gente calcula duas integrais com os mesmos extremos de integração e o mesmo integrando (mesmo que usando variáveis diferentes), elas dão o mesmo valor. Isso quer dizer que:

∫ 0 t f u g ( t - u ) d u = ∫ 0 t f x g ( t - x ) d x

Logo,

∫ 0 t f t - x g x d x = ∫ 0 t f u g t - u d u = ∫ 0 t f x g t - x d x

∫ 0 t f t - x g x d x = ∫ 0 t f x g t - x d x

E isso era o que a gente precisava provar!

Resposta

Prova nos passos

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