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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.9 - Ex. 70

Mostre que, se f e g forem contínuas, então

int_0^t f (t - x) g (x) d x = int_0^t f (x) g ( t - x ) d x

Passo 1

Vamos provar essa igualdade usando, na primeira integral, a substituição:

u = t - x :. x = t - u

(d u)/(d x) = - 1 :. - d u = d x

Os extremos de integração ficam assim:

u_1 = t - 0 = t

u_2 = t - t = 0

Substituindo tudo na integral:

int_0^t f (t - x) g (x) d x = - int_t^0 f (u) g ( t - u ) d u

Passo 2

Agora, vamos dar uma mexida nessas contas. A gente pode usar uma propriedade das integrais e dizer que:

int_0^t f (t - x) g (x) d x = - int_t^0 f (u) g (t - u) d u = int_0^t f (u) g ( t - u ) d u

int_0^t f (t - x) g (x) d x = int_0^t f (u) g ( t - u ) d u

Quando a gente calcula duas integrais com os mesmos extremos de integração e o mesmo integrando (mesmo que usando variáveis diferentes), elas dão o mesmo valor. Isso quer dizer que:

int_0^t f (u) g ( t - u ) d u = int_0^t f (x) g ( t - x ) d x

Logo,

int_0^t f (t - x) g (x) d x = int_0^t f (u) g (t - u) d u = int_0^t f (x) g (t - x) d x

int_0^t f (t - x) g (x) d x = int_0^t f (x) g (t - x) d x

E isso era o que a gente precisava provar!

Resposta

Prova nos passos

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