Determinar, algebricamente, os intervalos nos quais as funções seguintes são crescentes ou decrescentes. Fazer um esboço do gráfico, comparando os resultados.

k)

Se derivarmos a função que nos foi dada, teremos:

Agora que descobrimos a derivada da nossa função, vamos fazer a análise para quando e quando .

Antes de tudo, vale ressaltar que não pode, de forma alguma, ser , pois o denominador não pode ser zero, ok? Continuando:

Aqui temos que as raízes da função são e , certo? Sendo assim, temos que analisar a função para quando tende a estes valores pela esquerda e pela direita, jóia? Não precisamos nos preocupar com o denominador porque ele sempre será positivo por conta do quadrado, sendo assim:

À direita de temos que ;

À esquerda de temos que ;

À direita de temos que ;

À esquerda de temos que .

Como fizemos essa análise? Uma maneira eficaz é adotar um valor de qualquer à direita e à esquerda das raízes da função e ver se a função dá positiva ou negativa. Como são vários intervalos, podemos reescreve-los da seguinte forma:

Intervalos crescentes: ;

Intervalos decrescentes: .

Se esboçarmos o gráfico da função, teremos:

Se observamos o gráfico, notaremos que, de fato, a solução algébrica que chegamos faz sentido! À esquerda de a derivada é negativa, à direita de a derivada é positiva, à esquerda de a derivada é positiva e, por fim, à direita de a derivada é negativa, assim como concluímos no passo .

E essa é a nossa análise completa, pessoal! 😊