Determinar, algebricamente, os intervalos nos quais as funções seguintes são crescentes ou decrescentes. Fazer um esboço do gráfico, comparando os resultados.

h) f(x) = e^(-x)

Passo 1

Então pessoal, caso não se lembrem, por definição uma função é crescente se ela for contínua em um intervalo [ a ,   b ] , derivável nesse mesmo intervalo e, por fim, se apresenta f ' x > 0 .

Por definição uma função é decrescente se ela for contínua em um intervlao [ a ,   b ] , derivável nesse mesmo intervalo e ,por fim, se apresenta f ' x < 0 . Essas são as definições para intervalos crescentes e decrescentes de uma função e basta apenas isso e um pouco de intuição para resolvermos o problema, tudo jóia? Então bora lá!

Passo 2

Se derivarmos a função que nos foi dada, teremos:

f x = e - x

f ' x = e - x . ln ⁡ e . ( - 1 )

f ' x = - 1 e x

Agora que descobrimos a derivada da nossa função, vamos fazer a análise para quando f ' x > 0 e quando f ' x < 0 . Como a nossa função é exponencial, independente do valor de x o resultado da razão 1 e x SEMPRE será positivo, galera. Como há aquele sinal negativo na frente da razão, então todos os valores que y admitirá serão negativos! Em outras palavras:

Intervalos crescentes: Não existem;

Intervalos decrescentes: - ∞ ,   + ∞ .

Se esboçarmos o gráfico da função, teremos:

E se observarmos o gráfico, notaremos que, de fato, o nosso resultado é satisfatório! Trançando uma reta tangente em qualquer ponto da curva teremos uma reta decrescente.

E está aí nosso resultado e análise, galera! 😉

Resposta

Intervalos crescentes: Não existem;

Intervalos decrescentes: - ∞ ,   + ∞ .

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