Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 5.10 - Ex. 6c

Determinar, algebricamente, os intervalos nos quais as funções seguintes são crescentes ou decrescentes. Fazer um esboço do gráfico, comparando os resultados.

c)

Passo 1

Então pessoal, caso não se lembrem, por definição uma função é crescente se ela for contínua em um intervalo , derivável nesse mesmo intervalo e, por fim, se apresenta .

Por definição uma função é decrescente se ela for contínua em um intervlao , derivável nesse mesmo intervalo e ,por fim, se apresenta . Essas são as definições para intervalos crescentes e decrescentes de uma função e basta apenas isso e um pouco de intuição para resolvermos o problema, tudo jóia? Então bora lá!

Passo 2

Se derivarmos a função que nos foi dada, teremos:

Agora que descobrimos a derivada da nossa função, vamos fazer a análise para quando e quando , se liga:

Agora para o segundo caso:

Sendo assim, pelos resultados que obtemos aqui em cima, podemos concluir que:

Intervalos crescentes: ;

Intervalos decrescentes: .

Passo 3

Se esboçarmos o gráfico da função, teremos:

Observando o gráfico conseguimos notar que realmente nosso resultado faz sentido! À direita de a derivada é positiva, então é a parte crescente da função. À esquerda de a derivada é negativa, então é a parte decrescente da função, que é exatamente o resultado que chegamos algebricamente.