Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 5.10 - Ex. 6i

Determinar, algebricamente, os intervalos nos quais as funções seguintes são crescentes ou decrescentes. Fazer um esboço do gráfico, comparando os resultados.

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Passo 1

Então pessoal, caso não se lembrem, por definição uma função é crescente se ela for contínua em um intervalo , derivável nesse mesmo intervalo e, por fim, se apresenta .

Por definição uma função é decrescente se ela for contínua em um intervlao , derivável nesse mesmo intervalo e ,por fim, se apresenta . Essas são as definições para intervalos crescentes e decrescentes de uma função e basta apenas isso e um pouco de intuição para resolvermos o problema, tudo jóia? Então bora lá!

Passo 2

Se derivarmos a função que nos foi dada, teremos:

Aqui vale ressaltar que utilizamos a regra do produto para fazer essa derivada, tudo bem? Agora que descobrimos a derivada da nossa função, vamos fazer a análise para quando e quando .

Sendo assim, como para todo a função é crescente, então para todo a função é decrescente, o que faz sentido, uma vez que para o numerador resultará em um número negativo, enquanto o denominador sempre será positivo! Dessa forma, nossa conclusão é que:

Intervalos crescentes: ;

Intervalos decrescentes: .

Passo 3

Se esboçarmos o gráfico da função, teremos:

E se observarmos o gráfico, notaremos que, de fato, o nosso resultado é satisfatório! À esquerda de a função é crescente, enquanto à direita de a função é decrescente, assim como concluímos!