Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.7 - Ex. 11
Seja uma função derivável até a 2ª. Ordem no intervalo aberto I, tal que para todo
- Verifique que f’’ é continua em
- Prove que a função f não dimite ponto máximo local em
Passo 1
Oi, pessoal! Tudo bom? Aqui temos uma função derivável em segunda ordem e temos que mostrar que esta função é continua em e provar que não adimite máximo local em .
Passo 2
- Para verificar que é continua em primeiro temos que saber se o pertence a existe.
Como,
Temos que,
Calculando o limite,
Além disso, o enunciando forneceu que . Logo o limite existe e é diferente de zero.
Passo 3
b) Para provar que não admite ponto máximo local temos que usar o teorema .
Portanto se ele tiver um ponto de máximo , tem que existir para um ponto pertencente a um intervalo . Com isso, temos que
Pela definição de derivada temos,
Aplicando L’Hospital temos
Como
Logo
Para se ter um ponto máximo local . Porém pela equação encontrada não é possível a segunda derivada ser negativa, pois qualquer valor elevado ao quadrado é positivo. Logo, não existe máximo local.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)