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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.3 - Ex. 10a

Verifique que, para todo natural n >= 1 tem-se:

  1. int_0^1 (1 - x^2)^n d x = (2 n)/(2 n + 1) . int_0^1 (1 - x^2)^(n - 1) d x

Passo 1

Fala aí! Vamos resolver essa questãozinha aí! A gente precisa verificar se a integral realmente vai chegar neste valor aí… Para isto temos que resolver a integral, né?

A gente começa reescrevendo a nossa integral da seguinte forma:

int_0^1 (1 - x^2)^n d x = int_0^1 ((1)/(x^2) - 1)^n . x^(2 n) d x

A gente fez isso para poder usar o método de integração por partes, ok?

Relembrando essa técnica de integração, é tipo isso aqui:

int u d v = u v - int v d u

Agora vamos aplicar!

Passo 2

Então temos essa integral,

I = int_0^1 (1 - x^2)^n d x

Vamos escolher, no nosso caso:

u = ((1)/(x^2) - 1)^n d u = n . ((1)/(x^2) - 1)^(n - 1) . (- (2)/(x^3)) d x

d v = x^(2 n) d x v = (1)/(2 n + 1) . x^(2 n + 1)

Aplicando a integração por partes ficamos com

I = [((1)/(x^2) - 1)^n . (1)/(2 n + 1) . x^(2 n + 1)]_0^1 - int_0^1 (1)/(2 n + 1) . x^(2 n + 1) . n . ((1)/(x^2) - 1)^(n - 1) . (- (2)/(x^3)) d x

Agora vamos ajeitar um pouco,

I = [((1)/(x^2) - 1)^n . (1)/(2 n + 1) . x^(2 n + 1)]_0^1 - int_0^1 n . ((1)/(x^2) - 1)^(n - 1) . (- (2)/(x^3)) . (1)/(2 n + 1) . x^(2 n + 1) . d x

Já vamos calcular os limites de integração para parte entre os colchetes e simplificar mais a nossa integral,

I = (2 n)/(2 n + 1) . int_0^1 ( x^(2 n - 2) ) ((1)/(x^2) - 1)^(n - 1) d x

I = (2 n)/(2 n + 1) . int_0^1 (x^2)^(n - 1) ((1)/(x^2) - 1)^(n - 1) d x

Fazendo essa multiplicação,

int_0^1 (1 - x^2)^n d x = (2 n)/(2 n + 1) . int_0^1 (1 - x^2)^(n - 1) d x

Uhul! Conseguimos chegar lá! Arrasamos!

Resposta

Passo 1.

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Em cada parte, use a integração por partes ou outros métodos para deduzir a fórmula de redução.(a) ∫ sec n ⁡ x d x = sec n - 2 ⁡ x t g ( x ) n - 1 + n - 2 n - 1 ∫ sec n - 2 ⁡ x d x (b) ∫ t g n x d x =
Encontre o volume do sólido gerado quando a região entre y = s e n ( x ) e y = 0 , com 0 ≤ x ≤ π , gira em torno do eixo y .
Calcule ∫ xa r c tg ⁡ x d x usando integração por partes. Simplifique o cálculo de ∫ v d u introduzindo a constante de integração C 1 = 1 2 quando passar de d v para v .
Encontre o volume do sólido gerado quando a região entre y = c o s ( x ) e y = 0 , com 0 ≤ x ≤ π 2 , gira em torno do eixo y .
Calcule ∫ ln ⁡ ( 3 x - 2 ) d x usando integração por partes. Simplifique o cálculo de ∫ v d u introduzindo a constante de integração C 1 = - 2 3 quando passar de d v para v . Compare a solução obtida