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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 15.5 - Ex. 4

Seja f(x,y) de classe C³ no aberto A   ⊂ R ² e seja (x0, y0) um ponto de A. Prove que existem uma bola aberta B de centro (x0,y0), com B ∈ A , e um número M>0 tais que, para todo x , y ∈ R

f x , y - P 2 x , y ≤ M x , y - x 0 ,   y 0 3

Onde P2 é o polinômio de Taylor de ordem 2 de f em volta de (x0,y0). Conclua que

lim ⁡ E x , y x , y - x 0 , y 0 2 = 0

Onde

f x , y - P 2 x , y = E ( x , y )

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para analisarmos essa equaçãozinha aii e depois dar o resultado. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser analisar o valor da nosssa função a partir do ponto inicial.

Precisamos lembrar que f de classe C² em A significa que todas as derivadas parciais de ordem 3 são contínuas em A.

f x , y =   ∂ 3 f ∂ x 3 = M ∂ 3 f ∂ x 2 ∂ y = M ∂ 3 f ∂ y 2 ∂ x = M ∂ 3 f ∂ y 3 = M

Achado isso, vamos encontrar a nossa relação.

| E x , y | = 1 3 ! ∂ 3 f ∂ x 3 x 0 , y 0 x - x 0 3 + 3 ∂ 3 f ∂ x 2 ∂ y x 0 , y 0 x - x 0 2 y - y 0 + 3 ∂ 3 f ∂ y 2 ∂ x x 0 , y 0 y - y 0 2 x - x 0 + ∂ 3 f ∂ y 3 x 0 , y 0 y - y 0 3

x 0 , y 0 x - x 0 3 + 3 x - x 0 2 y - y 0 + 3 y - y 0 2 x - x 0 + y - y 0 3 = x , y - x 0 , y 0 3

Com nossos valores principais já calculados, precisamos jogar todo mundo na equação de Taylor de segunda ordem. Lembra dela?? Vou te dar um tempo para ir lá na teoria procurar...

P 2 x , y = f x 0 , y 0 + ∂ f ∂ x x 0 , y 0 x + ∂ f ∂ y x 0 , y 0 y + 1 2 ∂ 2 f ∂ x 2 x 0 , y 0 x 2 + 2 ∂ 2 f ∂ x ∂ y x 0 , y 0 x y + ∂ 2 f ∂ y 2 x 0 , y 0 y 2

| E x , y | = M 6 x , y - x 0 , y 0 3

M 6 x , y - x 0 , y 0 3 ≤ M x , y - x 0 ,   y 0 3  

Passo 3

Pronto!! Agora é só fazermos umas matemágicas aí pra achar o resultado!!

n k < n k + 1

x , y - x 0 ,   y 0 3 < x , y - x 0 ,   y 0 2

Como temos que

E x , y ≤ x , y - x 0 , y 0 3

Vemos que E x , y tende a zero muito mais rápido do que x , y - x 0 ,   y 0 2

Portanto:

lim ⁡ E x , y x , y - x 0 , y 0 2 = 0

Resposta

M 6 x , y - x 0 , y 0 3 ≤ M x , y - x 0 ,   y 0 3

lim ⁡ E x , y x , y - x 0 , y 0 2 = 0

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Seja f(x,y) de classe C³ no aberto A⊂ R ² ² e seja (x0, y0) um ponto de A. Seja P2 (x,y) um polinômio de grau 2. Prove que lim ⁡ f x , y - P 2 x , y x , y - x 0 , y 0 2 = 0 Onde P 2 x , y → ( x 0 , y