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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 15.5 - Ex. 3

Seja P 2 ( x , y ) o polinômio de Taylor de ordem 2 de

f x , y = x sin ⁡ y → x 0 ,   y 0 = 0,0

Mostre que

f x , y - P 2 x , y < y 2 2 x + y 3 ,   x < 1

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para analisarmos essa equaçãozinha aii e depois dar o resultado. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser analisar o valor da nosssa função a partir do ponto inicial.

f x , y = x sin ⁡ y   → f 0,0 = 0

Achado isso, vamos encontrar a nossa derivada parcial de cada situação.

f x , y - P 2 x , y = 1 3 ! ∂ 3 f ∂ x 3 x 0 , y 0 x - x 0 3 + 3 ∂ 3 f ∂ x 2 ∂ y x 0 , y 0 x - x 0 2 y - y 0 + 3 ∂ 3 f ∂ y 2 ∂ x x 0 , y 0 y - y 0 2 x - x 0 + ∂ 3 f ∂ y 3 x 0 , y 0 y - y 0 3

f x , y = x sin ⁡ y   ∂ f ∂ x = sin ⁡ y = 0 ∂ f ∂ y = xcos ⁡ y = 0 ∂ 2 f ∂ x 2 = 0 ∂ ² f ∂ y ² =   - x sin ⁡ y = 0   ∂ 2 f ∂ x ∂ y = cos ⁡ y = 1 ∂ 3 f ∂ x 3 = 0 ∂ 3 f ∂ x 2 ∂ y = 0 ∂ 3 f ∂ y 2 ∂ x = - sin ⁡ y ∂ 3 f ∂ y 3 = - x cos ⁡ y  

Com nossos valores principais já calculados, precisamos jogar todo mundo na equação de Taylor de segunda ordem. Lembra dela?? Vou te dar um tempo para ir lá na teoria procurar...

P 2 x , y = f x 0 , y 0 + ∂ f ∂ x x 0 , y 0 x + ∂ f ∂ y x 0 , y 0 y + 1 2 ∂ 2 f ∂ x 2 x 0 , y 0 x 2 + 2 ∂ 2 f ∂ x ∂ y x 0 , y 0 x y + ∂ 2 f ∂ y 2 x 0 , y 0 y 2

f x , y = x sin ⁡ y   → P 2 x , y = x y

Passo 3

Pronto!! Agora é só fazermos umas matemágicas aí pra achar o resultado!!

1 3 ! ∂ 3 f ∂ x 3 x 0 , y 0 x - x 0 3 + 3 ∂ 3 f ∂ x 2 ∂ y x 0 , y 0 x - x 0 2 y - y 0 + 3 ∂ 3 f ∂ y 2 ∂ x x 0 , y 0 y - y 0 2 x - x 0 + ∂ 3 f ∂ y 3 x 0 , y 0 y - y 0 3 = 1 3 ! - 3 x y 2 sin ⁡ y - x y 3 cos ⁡ y

f x , y - P 2 x , y = 1 2 y 2 x sin ⁡ y + 1 3 y cos ⁡ y

f x , y - P 2 x , y < y 2 2 x + y 3

Resposta

f x , y - P 2 x , y < y 2 2 x + y 3

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Seja f(x,y) de classe C³ no aberto A⊂ R ² ² e seja (x0, y0) um ponto de A. Prove que existe uma função φ ( x , y ) definida em A tal que, para todo (x,y) em A. f x , y - P 2 x , y =φ x , y x , y - x 0
Expresse o polinômio f x , y = x 3 + 2 x 2 y + 3 y 3 + x - y → x 0 , y 0 = ( 1,1 ) como soma de termos do tipo a x - 1 p y - 1 q
Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 da função dada, em volta do ponto (x0,y0) dado. f x , y = x sin ⁡ y → x 0 ,y 0 = 0,0 f x , y = x ³ + 2 x ² y + 3 y ³ + x - y → x 0 ,y 0 = 1,1 ³ ² ³
Seja f(x,y) de classe C³ no aberto A⊂ R ² ² e seja (x0, y0) um ponto de A. Seja P2 (x,y) um polinômio de grau 2. Prove que lim ⁡ f x , y - P 2 x , y x , y - x 0 , y 0 2 = 0 Onde P 2 x , y → ( x 0 , y