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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 15.5 - Ex. 1

Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 da função dada, em volta do ponto (x0,y0) dado.

f x , y = x sin ⁡ y → x 0 ,   y 0 = 0,0

f x , y = x ³ + 2 x ² y + 3 y ³ + x - y → x 0 ,   y 0 = 1,1

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para analisarmos essa equaçãozinha aii e depois dar o resultado. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser analisar os valores das nosssas funções a partir do ponto inicial.

f x , y = x sin ⁡ y   → f 0,0 = 0

f x , y = x ³ + 2 x ² y + 3 y ³ + x - y → f ( 1,1 ) = 6

Achado isso, vamos encontrar a nossa derivada parcial de cada uma.

f x , y = x sin ⁡ y   ∂ f ∂ x = sin ⁡ y = 0 ∂ f ∂ y = xcos ⁡ y = 0 ∂ 2 f ∂ x 2 = 0 ∂ ² f ∂ y ² =   - x sin ⁡ y = 0   ∂ 2 f ∂ x ∂ y = cos ⁡ y = 1

f x , y = x ³ + 2 x ² y + 3 y ³ + x - y ∂ f ∂ x = 3 x 2 + 4 x y + 1 = 8 ∂ f ∂ y = 2 x ² + 9 y ² - 1 = 1 0 ∂ 2 f ∂ x 2 = 6 x + 4 y = 10 ∂ ² f ∂ y ² =   18 y = 18   ∂ 2 f ∂ x ∂ y = 4 x = 4

Com nossos valores principais já calculados, precisamos jogar todo mundo na equação de Taylor de segunda ordem. Lembra dela?? Vou te dar um tempo para ir lá na teoria procurar...

P 2 x , y = f x 0 , y 0 + ∂ f ∂ x x 0 , y 0 x + ∂ f ∂ y x 0 , y 0 y + 1 2 ∂ 2 f ∂ x 2 x 0 , y 0 x 2 + 2 ∂ 2 f ∂ x ∂ y x 0 , y 0 x y + ∂ 2 f ∂ y 2 x 0 , y 0 y 2

Passo 3

Pronto!! Agora é só fazermos umas matemágicas aí pra achar o resultado!!

f x , y = x sin ⁡ y   → P 2 x , y = x y

f x , y =   x ³ + 2 x ² y + 3 y ³ + x - y → P 2 x , y = 6 + 8 x - 1 + 10 y - 1 + 5 x - 1 2 + 4 x - 1 y - 1 + 9 ( y - 1 ) ²

Resposta

f x , y = x sin ⁡ y   → P 2 x , y = x y

f x , y =   x ³ + 2 x ² y + 3 y ³ + x - y → P 2 x , y = 6 + 8 x - 1 + 10 y - 1 + 5 x - 1 2 + 4 x - 1 y - 1 + 9 ( y - 1 ) ²

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