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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 15.5 - Ex. 2

Expresse o polinômio

f (x , y) = x^3 + 2 x^2 y + 3 y^3 + x - y -> (x_0 , y_0) = ( 1,1 )

como soma de termos do tipo

a (x - 1)^p (y - 1)^q

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para analisarmos essa equaçãozinha aii e depois dar o resultado. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser analisar o valor da nosssa função a partir do ponto inicial.

f (x , y) = x ³ + 2 x ² y + 3 y ³ + x - y -> f ( 1,1 ) = 6

Achado isso, vamos encontrar a nossa derivada parcial de cada situação.

f (x , y) = x ³ + 2 x ² y + 3 y ³ + x - y {[[(del f)/(del x) = 3 x^2 + 4 x y + 1 = 8],[(del f)/(del y) = 2 x ² + 9 y ² - 1 = 10],[(del^2 f)/(del x^2) = 6 x + 4 y = 10],[(del ² f)/(del y ²) = 18 y = 18],[(del^2 f)/(del x del y) = 4 x = 4],[(del^3 f)/(del x^3) = 6],[(del^3 f)/(del y^3) = 18],[(del^3 f)/(del x^2 del y) = 4],[(del^3 f)/(del y^2 del x) = 0]])

Com nossos valores principais já calculados, precisamos jogar todo mundo na equação de Taylor de terceira ordem. Lembra dela?? Vou te dar um tempo para ir lá na teoria procurar...

P_3 (x , y) = f (x_0 , y_0) + (del f)/(del x) (x_0 , y_0) (x - x_0) + (del f)/(del y) (x_0 , y_0) (y - y_0) + (1)/(2) [(del^2 f)/(del x^2) (x_0 , y_0) (x - x_0)^2 + 2 (del^2 f)/(del x del y) (x_0 , y_0) (x - x_0) (y - y_0) + (del^2 f)/(del y^2) (x_0 , y_0) (y - y_0)^2] + (1)/(3 !) [(del^3 f)/(del x^3) (x_0 , y_0) (x - x_0)^3 + 3 (del^3 f)/(del x^2 del y) (x_0 , y_0) (x - x_0)^2 (y - y_0) + 3 (del^3 f)/(del y^2 del x) (x_0 , y_0) (y - y_0)^2 (x - x_0) + (del^3 f)/(del y^3) (x_0 , y_0) (y - y_0)^3]

Passo 3

Pronto!! Agora é só fazermos umas matemágicas aí pra achar o resultado!!

f (x , y) = x ³ + 2 x ² y + 3 y ³ + x - y -> P_2 (x , y) = 6 + 8 (x - 1) + 10 (y - 1) + 5 (x - 1)^2 + 4 (x - 1) (y - 1) + 9 (y - 1)^2 + (x - 1)^3 + 2 (x - 1)^2 (y - 1) + 3 (y - 1)^3

Resposta

f (x , y) = x ³ + 2 x ² y + 3 y ³ + x - y -> P_2 (x , y) = 6 + 8 (x - 1) + 10 (y - 1) + 5 (x - 1)^2 + 4 (x - 1) (y - 1) + 9 (y - 1)^2 + (x - 1)^3 + 2 (x - 1)^2 (y - 1) + 3 (y - 1)^3

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Sejam f ( x ,y ) e ( x 0 ,y 0 ) como no exercício anterior. Prove que se a0 e b 2 - 4 a c0 , então f x 0 + h ,y 0 + kf ( x 0 ,y 0 )
Sejam f x , y = e x + 5 y e P 1 ( x , y ) o polinômio de Taylor de ordem 1 de f em volta de ( 0,0 ) b) Avalie o erro para a aproximação e x + 5 y ≈ P 1 x , y Para x = 0,01 e y = 0,01
Seja f x , y = x 3 + y 3 - x 2 + 4 y e P 1 ( x , y ) calcule o valor aproximado para f ( x , y ) , sendo x = 0,001 e y = 0,99
Seja f x , y = a x 2 + b x y + c y 2 + d x + e y + m ( a ,b ,c , d , e ,m constantes) e seja ( x 0 ,y 0 ) um ponto crítico de f . Prove que, para todo ( h ,k ) . f x 0 + h ,y 0 + k - f x 0 ,y 0 = a h
Sejam f x , y = e x + 5 y e P 1 ( x , y ) o polinômio de Taylor de ordem 1 de f em volta de ( 0,0 ) Mostre que para todo ( x , y ) com x + 5 y1 e x + 5 y - P 1 x , y3 2 x + 5 y 2