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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 8.1 - Ex. 7

Seja f: IR² → IR homogênea e suponha que f a , b = 0 para todo ( a , b ) , com a 2 + b 2 = 1 . Mostre que f x , y = 0   para todo x , y ≠ 0,0 .

Passo 1

Encontrar o termo homogêneo da equação:

f t x , t y = t n f x , y

f t x , t y = f ( x 2 + y 2 . x x 2 + y 2 , x 2 + y 2 . y x 2 + y ² )

f ( x 2 + y 2 . x x 2 + y 2 , x 2 + y 2 . y x 2 + y 2 ) = ( x 2 + y 2 ) n . f ( x x 2 + y 2 , y x 2 + y 2 )

Passo 2

Como nesse caso a 2 + b 2 = 1

x x 2 + y 2 + y x 2 + y 2 = 1

  f a , b = 0

f ( x x 2 + y 2 , y x 2 + y 2 ) = 0

Passo 3

Substituir na equação dada:

f ( x x 2 + y 2 , y x 2 + y 2 ) = ( x 2 + y 2 ) n . f ( x x 2 + y 2 , y x 2 + y 2 )

Como f ( x x 2 + y 2 , y x 2 + y 2 ) = 0

Para qualquer grau de homogeneidade, teremos:

x 2 + y 2 n . f x x 2 + y 2 , y x 2 + y 2 = 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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