Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 4.2 - Ex. 15
Seja . Mostre que não existe um valor de em tal que . Por que isso não contradiz o Teorema do Valor Médio?
Passo 1
Eaeee, belezinha?? Bom... a questão nos dá a seguinte função:
E pede pra gente que mostremos que não existe um valor de em tal que
Ainda, o enunciado nos pergunta o porquê disso não contradizer o Teorema do Valor Médio.
Para resolver esse problema, devemos derivar a função e aplicar os pontos e nessa derivada para verificar a igualdade.
E vamos relembrar aqui o teorema do valor médio:
O teorema do valor médio afirma que se uma função é contínua no intervalo fechado e diferenciável no intervalo aberto , então existe um ponto no intervalo tal que é igual à taxa de variação média da função em .
Bora lá?? 😉
Passo 2
Como precisamos mostrar que
Precisaremos de cada pedacinho dessa expressão.
Sendo nossa função dada por
Para encontrar sua derivada usamos a regra da cadeia. Assim:
Portanto, para , podemos dizer:
Show, guarda esse valor aí.
Passo 3
Também precisaremos de e . Assim, aplicando esses valores diretamente na função ficamos com
então
E para
Que nos dará:
Então
E substituindo tudo isso em nossa expressão, ficamos com:
Verificando o que o enunciado nos deu:
E resolvendo, temos
E finalmente
que não está no intervalo aberto
Isso não contradiz o Teorema do Valor Médio porque não é contínua em (se você fizer essa igualdade, haverá uma indeterminação do tipo divisão por zero).
E assim, terminamos essa questão.
Resposta
Demonstração