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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.Revisão - Ex. 75

Em cada parte, determine se todas as hipóteses do Teorema de Rolle estão verificadas no intervalo dado. Caso não estiverem, indique qual é a hipótese que está falhando; se estiverem, encontre todos os valores de c garantidos na conclusão do teorema.

  1. f x = 4 - x 2 em - 2,2
  2. f x = x 2 3 - 1 em - 1,1
  3. f x = sen ⁡ x 2 em 0 , π

Passo 1

Temos que o Teorema de Rolle afirma que, entre dois pontos A a , f a e B b , f b quaisquer do gráfico de uma função diferenciável f , existe pelo menos um ponto onde a reta tangente ao gráfico é paralela à reta secante que passa por A e B . Vamos analisar cada letra:

  1. A função é contínua no intervalo - 2,2 , pois como a função é uma raiz, pode ser atribuído qualquer valor para x que vai resultar em um f desse x .

    2. Agora vamos ver se é diferenciável, ou seja, se  f  for derivável em todos os pontos do intervalo aberto  - 2,2 :

    f ' x = 1 2 4 - x 2 1 2 - 1 0 - 2 x = 1 2 4 - x 2 - 1 2 - 2 x = - x 4 - x 2

    Também é diferenciável, não existe valor caso o denominador zere no intervalo - 2,2 .

    Para encontrar c vamos igualar a derivada a zero:

    f ' x = 0 → - x 4 - x 2 = 0 → x = 0

    Assim, temos que c = 0 .

    Passo 2

  2. A função é contínua no intervalo - 1,1 , pois pode ser atribuído qualquer valor para x que vai resultar em um f desse x .

    3. Agora vamos ver se é diferenciável, ou seja, se  f  for derivável em todos os pontos do intervalo aberto  - 1 , 1 :

    f ' x = 2 3 ⋅ x 2 3 - 1 - 0 = 2 3 x 2 - 3 3 = 2 3 x - 1 3 = 2 3 x 1 3

    Aqui dentre os pontoa do intervalo a função não é diferenciável em x = 0 , não existe valor pois o denominador zera.

    Passo 3

  3. A função é contínua no intervalo 0 , π , pois como a função seno admite os valores do intervalo, retornando um valor f desse x .

Agora vamos ver se é diferenciável, ou seja, se  f  for derivável em todos os pontos do intervalo aberto  0 , π :

f ' x = cos ⁡ x 2 ⋅ 2 x = 2 x cos ⁡ x 2

Também é diferenciável, não existe valor de x no intervalo 0 , π que não nos retorne valor.

Para encontrar c vamos igualar a derivada a zero:

f ' x = 0 → 2 x cos ⁡ x 2 = 0 →

x = 0

x = π 2

Como c tem que estar no intervalo 0 , π , temos que c = π 2 .

Resposta

  1. c = 0
  2. Não é diferenciável em x = 0
  3. c = π 2
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