Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.Revisão - Ex. 76c
Em cada parte, determine se todas as hipóteses do Teorema do Valor Médio estão verificadas no intervalo dado. Caso não estejam, indique quais hipóteses estão falhando; se estiverem, encontre todos os valores de garantidos na conclusão do teorema.
(c) em
Passo 1
As hipóteses do Teorema do Valor Médio são:
- contínua no intervalo
- diferenciável em
Se elas forem atendidas, a gente diz que há pelo menos um , tal que:
Vamos avaliar a função e o intervalo que ele deu com base nessas informações aí. Vem comigo!
Passo 2
A primeira coisa é ver se a função é contínua no intervalo. Essa função é definida como:
Precisamos testar a continuidade no ponto :
Como todos esses valores são iguais, a nossa função é contínua no intervalo .
Passo 3
Precisamos verificar a continuidade da derivada dessa função em para saber se ela é diferenciável no intervalo. Como :
Já para , :
Como todos esses valores deram iguais, nossa função tem a derivada contínua e é diferenciável no intervalo .
Passo 4
Com as hipóteses atendidas, vamos descobrir para :
Mas lembra que nossa função está definidad por partes. Para :
Para :
Repara que a gente não disse , porque não estaria dentro do no nosso intervalo.