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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.Revisão - Ex. 76b

Em cada parte, determine se todas as hipóteses do Teorema do Valor Médio estão verificadas no intervalo dado. Caso não estejam, indique quais hipóteses estão falhando; se estiverem, encontre todos os valores de c garantidos na conclusão do teorema.

(b) f x = x + 1 x - 1   em [ 2 , 3 ]

Passo 1

As hipóteses do Teorema do Valor Médio são:

- f contínua no intervalo [ a , b ]

- f   diferenciável em ( a , b )

Se elas forem atendidas, a gente diz que há pelo menos um c , tal que:

f ' c = f b - f a b - a

Vamos avaliar a função e o intervalo que ele deu com base nessas informações aí. Vem comigo!

Passo 2

A primeira coisa é ver se a função é contínua no intervalo. Essa função é definida como:

f x = x + 1 x - 1

Essa função só em descontínua em:

x - 1 = 0 ∴ x = 1

O nosso intervalo não engloba esse ponto, então ela é contínua em [ 2,3 ] .

Passo 3

Vamos calcular a derivada dessa função:

f ' x = x - 1 - x + 1 x - 1 2 = - - 2 x - 1 2

Essa derivada é descontínua em x = 1 . Mas esse ponto não está dentro do intervalo [ 2,3 ] . Logo a segunda hipótese também é atendida e a função é diferenciável.

Passo 4

Com as hipóteses atendidas, vamos descobrir c para [ 2,3 ] :

f ' c = f b - f a b - a

- 2 c - 1 2 = f 3 - f 2 3 - 2 = - 1

2 = c - 1 2

c = 2 + 1 ,     c = - 2 + 1

Mas somente o primeiro c está no nosso intervalo, então:

c = 2 + 1

Resposta

c = 2 + 1

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