Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.3 - Ex. 70
Seja ,
(a) Mostre que é injetora.
(b) Seja e defina . Encontre
Passo 1
(a)
Primeiro vamos lembrar o que é uma função injetora: é aquela que dado um valor de , só existe um que leva a função nesse valor.
Pra resolver isso podemos lembrar que se a função é injetora no intervalo, então ela também é estritamente crescente ou estritamente decrescente nesse intervalo, e para isso dizemos que se:
No intervalo dado, a função é injetiva nesse intervalo.
Passo 2
No nosso caso:
Usando a regra da derivada da divisão:
Colocando em evidência:
Como , o termo () e o termo serão sempre positivos. Além disso também é sempre positivo, e como tem um sinal de menos ali na frente:
Isso significa que a função é estritamente decrescente nesse intervalo e por isso injetiva, como queríamos mostrar.
Passo 3
(b)
Para achamos , vamos começar derivando a expressão que define
Pela regra da cadeia:
Masssss lembra que e pela propriedade de funções inversas, vale que:
Derivando essa expressão e usando a regra da cadeira:
Substituindo na nossa expressão:
Fazendo
Passo 4
Agora nosso objetivo é encontrar o valor de , pra isso basta trocarmos por na equação original:
Fazendo
Percebe que se colocarmos aí dentro dá certinho? Fica:
Então vamos falar que
Passo 5
Voltando pra nossa equação (1):
Achanco e :
Passo 6
Substituindo isso em (2)
Resposta
(a) Mostrado no desenvolvimento
(b)