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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.2 - Ex. 27

Ache ( f^(- 1) ) ' ( d ) .

f (x) = int_(- 3)^x (t + 3)^((1)/(2)) d t ; d = 18

Passo 1

Primeiro vamos resolver a integral.

f (x) = int_(- 3)^x (t + 3)^((1)/(2)) d t

A primitiva

f (x) = (2 (t + 3)^((3)/(2)))/(3) + c

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo.

f (x) = (2 (x + 3)^((3)/(2)) - 2 (- 3 + 3)^((3)/(2)))/(3)

f (x) = 2 (x + 3)^((3)/(2))

Passo 2

Agora vamos substituir d em f(x).

18 = 2 (x + 3)^((3)/(2))

x = 6

Passo 3

Agora vamos derivar f(x).

y = 2 (x + 3)^((3)/(2))

y^' = (x + 3)^((1)/(2))

Passo 4

Agora vamos substituir o valor de x que achamos para d.

x = 18

y^' = (6 + 3)^((1)/(2))

y^' = 3

Resposta

Substituindo na equação do Teorema da Função Inversa.

( f^(- 1) ) ' ( x o ) = (1)/(f ' ( f^(- 1) ( x o ) ))

f^' (f^(- 1) (x o)) = (1)/(3)

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