Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.2 - Ex. 29
Nos exercícios de 29 a 34, faça o seguinte: resolva a equação para em termos de e expresse como uma ou mais função de ; para cada função obtida em determine se a função tem inversa e se tiver, determine o domínio da função inversa; use a derivação implícita para encontrar e e determine os valores de e para os quais e são recíprocos.
Passo 1
Resolvendo a equação para teremos:
Ou seja, ficamos com duas funções diferentes! Vamos nomeá-las:
Passo 2
Vamos analisar essas funções para vermos se há ou não uma inversa. Lembrado que para existir inversa a função precisa ser injetora e sobrejetora ao mesmo tempo, ou seja, bijetora!
Para saber se f é injetora tentaremos provar que para implica em . Agora vamos aplicar esta ideia:
Neste caso note que a função não será injetora pois ela é uma função par! Veja abaixo:
Ou seja,
Logo não possui inversa
Passo 3
Note também que o foi visto para também se aplica a :
Ou seja,
Passo 4
Derivando implicitamente em função de :
Isolando teremos:
Agora derivando implicitamente em função de :
Isolando teremos:
Resposta
e
e não possuem inversa.
e