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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.2 - Ex. 29

Nos exercícios de 29 a 34, faça o seguinte: ( a ) resolva a equação para y em termos de x e expresse y como uma ou mais função de x ; ( b )   para cada função obtida em ( a ) determine se a função tem inversa e se tiver, determine o domínio da função inversa; ( c )   use a derivação implícita para encontrar d y d x e d x d y e determine os valores de x e y para os quais d y d x e d x d y são recíprocos.

29 )   x 2 + y 2 = 9

Passo 1

( a ) Resolvendo a equação para y teremos:

y 2 = 9 - x 2

y = ± 9 - x 2

Ou seja, ficamos com duas funções diferentes! Vamos nomeá-las:

y 1 = 9 - x 2

y 2 = - 9 - x 2

Passo 2

( b ) Vamos analisar essas funções para vermos se há ou não uma inversa. Lembrado que para existir inversa a função precisa ser injetora e sobrejetora ao mesmo tempo, ou seja, bijetora!

Para saber se f é injetora tentaremos provar que para f x 1 =   f ( x 2 ) implica em x 1 = x 2 . Agora vamos aplicar esta ideia:

Neste caso note que a função não será injetora pois ela é uma função par! Veja abaixo:

9 - - x 2 = 9 - x 2

Ou seja,

y 1 - x = y 1 x

Logo y 1 não possui inversa

Passo 3

Note também que o foi visto para y 1   também se aplica a y 2 :

- 9 - - x 2 = - 9 - x 2

Ou seja,

y 2 - x = y 2 x

Passo 4

( c ) Derivando implicitamente em função de x :

x 2 + y 2 = 9

2 x + 2 y d y d x = 0

Isolando d y d x teremos:

d y d x = - x y

Agora derivando implicitamente em função de y :

x 2 + y 2 = 9

2 x d x d y + 2 y = 0

Isolando d x d y teremos:

d x d y = - y x

Resposta

( a ) y 1 = 9 - x 2 e y 2 = - 9 - x 2

( b ) y 1 e y 2 não possuem inversa.

( c ) d y d x = - x y e   d x d y = - y x

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Calcule.c) a r cs e n3 2
Calcule.e) a r ct g- 1
Seja f uma função inversível com inversa g . Mostre quea) f g x = x para todo x ∈ D g b) g f x = x para todo x ∈ D f
Seja f x = x + e x e seja g sua inversa.a) Prove que o domínio e a imagem de g são intervalos.b) Prove que g é estritamente crescente.c) Prove que g é contínua. (Sugestão: Utilize o Exercício 12.)
Calculeg) a r cs e n s e n2 π 3 (Cuidado!)