Demonstre o volume da esfera.

Para esta demonstração, utilizamos o conceito de integral definida. Vamos supor a circunferência abaixo com centro na origem:

Se rotacionarmos a circunferência em torno do eixo x, obteremos uma esfera de centro na origem e raio r.

Temos que a equação da circunferência com o raio na origem é:

Logo:

Para encontrarmos o volume desta esfera, vamos supor fatias de larguras infinitesimais dx e raio y.

O volume do cilindro é dado por:

Como o raio do cilindro de altura infinitesimal é igual a dx e seu raio da base é igual a y, podemos reescrever a fórmula de seu volume como:

Podemos dizer que a esfera é formada por infinitos cilindros de alturas infinitesimais dx, onde seu raio y é variável para cada cilindro.

A soma desses cilindros de alturas infinitesimais é dado pela integral definida:

Como:

Temos:

Aplicando a integral: