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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.3 - Ex. 77

Seja y ( t ) o número de células de E .   c o l i num recipiente de solução nutriente t minutos depois do início de um experimento. Suponha que y ( t ) seja modelada pelo problema de valor inicial.

d y d t = ( ln ⁡ 2 ) 2 t 20 ,     y 0 = 20

Use esse modelo para obter uma estimativa do número de células de E . c o l i no recipiente 2 horas depois do início do experimento.

Passo 1

Vamos descobrir a função y ( t ) . Para isso, vamos integrar a função dada:

d y = ln ⁡ 2 2 t 20   d t

y = ∫ ( ln ⁡ 2 )   2 t 20 d t

= ln ⁡ 2   ∫ 2 t 20 d t

Vamos usar a substituição u = t 20 → d u = 1 20   d x :

= ln ⁡ 2   20 ∫ 2 u   d u

= 20 ln ⁡ 2   2 u ln ⁡ 2

= 20 2 u

Voltando pra t :

y = 20 2 t 20 + C

Passo 2

Beleza, achamos uma solução geral. Pra achar a solução meeeesmo a gente vai usar o valor inicial pra sumir com esse C daí:

y = 20 2 t 20 + C → y 0 = 20

20 = 20 2 0 20 + C

20 = 20 + C

C = 0

Show! A função y ( t ) então é essa:

y ( t ) = 20 2 t 20

Passo 3

Agora pra estimar o número e células depois de 2 horas, a gente joga esse valor dentro da função. No caso, t está em minutos, vamos substituir por t = 120 ...

y ( t ) = 20 2 t 20

y 120 = 20   2 120 20

y 120 = 20   2 6

y 120 = 20 ( 64 )

y 120 = 1280

Prontinho!

Resposta

1280

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