Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.1 - Ex. 40
Seja um ponto a uma distância do centro de um círculo de raio . A curva traçada por quando o círculo gira sobre uma reta é chamada trocoide. (Pense no movimento de um ponto sobre um raio de uma roda de bicicleta). A cicloide é um caso especial de trocoide com . Usando o mesmo parâmetro que para a cicloide e supondo que a reta seja o eixo e quando está em um de seus pontos mais baixos, mostre que as equações paramétricas para a trocoide são
Passo 1
Bom, imagina lá nossa circunferência rodando na reta.
A situação é a seguinte:
As coordenadas do nosso ponto são
E são elas que queremos descobrir, em função de e .
As coordenadas do nosso ponto serão:
Onde esse nada mais é do que a coordenada do centro da circunferência.
Vamos matar logo isso e descobrir essa coordenada.
Passo 2
Se você parar pra pensar, o centro da circunferência vai estar a uma distância da origem exatamente igual a distância que a nossa circunferência já andou.
E que distância é essa? É o arco .
E qual o comprimento de um arco de ângulo em uma circunferência de raio ? Isso mesmo, .
Portanto, a coordenada vale .
Tranquilo, né?
Já matamos uma parte então.
Passo 3
Agora, vamos ampliar esse triângulo aí de dentro da circunferência:
Está faltando descobrir o valor dos segmentos e . Vamos usar relações fundamentais da trigonometria. Isso aí é um triangulo retângulo, certo?
Então podemos dizer que
Daí temos que
E PRONTO!
Descobrimos quem faltava!
Passo 4
Agora substituindo tudo em
Temos
Que é exatamente aquilo que o enunciado dizia.
Resposta
Ver o desenvolvimento.