Seja x = ϕ(t) a solução geral de x' = P(t)x + g(t) e seja x = v(t) uma solução particular do mesmo sistema. Considerando a diferença ϕ(t) - v(t) , mostre que ϕ(t) = u(t) + v(t) , em que u(t) é a solução geral do sistema homogêneo x' = P(t) x .

Passo 1

Vamos lá, primeiro desde que ϕ t seja uma solução geral do sistema x ' = P t x + g t , nós temos que satisfazer:

ϕ ' t = P t ϕ t + g t

A mesma conclusão vale para, solução particular do sistema ou não homogenia:

v ' t = P t v t + g t

Passo 2

Caso nós substituirmos nestas equações e executarmos o seguinte:

ϕ ' t - v ' t

Temos que:

ϕ ' t - v ' t = P t ϕ t + g t - P t v t - g t

ϕ ' t - v ' t = P t ϕ t - P t v t

ϕ ' t - v ' t = P t ϕ t - v t

Consequentemente temo:

ϕ t - v t ' = P t ϕ t - v t

A partir disto podemos concluir que ϕ t - v t é a solução homogenia do sistema

Resposta

ϕ t - v t ' = P t ϕ t - v t

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