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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.9 - Ex. 18

Use a transformada de Laplace para resolver o sistema

x ' = - 2 1 1 - 2 x + 2 e t 3 t = A x + g t

usado nos exemplos desta seção. Em vez de usar condições iniciais nulas como no Exemplo 4,

seja

x 0 = α 1 α 2

em que α1 e α2 são arbitrários. Como devem ser escolhidos α1 e α2 para que a solução fique

idêntica à Eq. (38)?

Passo 1

Aplicando a transformada de Laplace na equação inicial, x ' = A x + g t .

Similar a equação 43, temos:

s I - A X s = G s + α 1 α 2

Em que:

G s = 2 / ( s + 1 ) 3 / s 2             e             s I - A = s + 2 - 1 - 1 s + 2

Calculando a matriz inversa de s I - A :

s I - A - 1 = 1 s + 1 s + 3 s + 2 1 1 s + 2

Perceba que:

s I - A X s = G s + α 1 α 2

X s = s I - A - 1 G s + α 1 α 2

Portanto efetuando a multiplicação da matriz inversa teremos a solução geral mas no domínio da frequência s .

Temos que:

X s = 2 s + 2 s + 1 2 s + 3 + 3 s 2 s + 1 s + 3 + α 1 s + 2 s + 1 s + 3 + α 2 s + 1   s + 3 2 s + 1 2 s + 3 + 3 s + 2 s 2 s + 1 s + 3 + α 1 s + 1 s + 3 + α 2 s + 2 s + 1   s + 3

Passo 2

Agora temos que efetuar Laplace inversa para voltarmos a domínio do tempo t .

X t = L X s - 1

X t = 4 + α 1 + α 2 2 e - t + - 4 + 3 α 1 - 3 α 2 6 e - 3 t + t + t e - t - 4 3 2 + α 1 + α 2 2 e - t + 4 - 3 α 1 + 3 α 2 6 e - 3 t + 2 t + t e - t - 5 3

Portanto podemos determinar α 1 e α 2 devem ser escolhidos como:

4 + α 1 + α 2 2 = c 2 + 1 2

- 4 + 3 α 1 - 3 α 2 6 = c 1

Tendo como:

α 1 = - 5 + 6 c 1 + 6 c 2 6

α 2 = - c 1 + c 2 - 13   6

Resposta

α 1 = - 5 + 6 c 1 + 6 c 2 6

α 2 = - c 1 + c 2 - 13   6

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Em cada um dos problemas de 1 a 12, encontre a solução geral do sistema de equações dado. x ' = 2 - 1 3 - 2 x + 1 - 1 e t
Considere o sistema x ' = A x = 1 1 1 2 1 - 1 - 3 2 4 x (e) Escreva uma matriz fundamental Ψ ( t ) para o sistema (i).
Considere o sistema x ' = A x = 1 1 1 2 1 - 1 - 3 2 4 x a)Mostre que r = 2 é um autovalor de multiplicidade 3 da matriz de confiecnetes A e que existe apenas um autovetor independe associado, a saber,
Considere o sistema x ' = A x = 1 1 1 2 1 - 1 - 3 2 4 x f) Forme a matriz T com o autovetor ξ 1 na primeira coluna e os autovetores generalizados η e ζ na segunda e terceira colunas. Depois, encontre
Considere o sistema x ' = A x = 1 1 1 2 1 - 1 - 3 2 4 x c)Para encontrar uma segunda solução, suponha que x=ξ t e 2 t+η e 2 t . Mostre que ξ e ηsatisfazem as equações ( A–2 I ) ξ=0 ,( A–2 I ) ˚=ξ Como