O circuito elétrico mostrado na Figura 7.9.1 é descrito pelo sistema de equações diferenciais d x d t = - 1 / 2 - 1 / 8 2 - 1 / 2 x + 1 2 0 I t Em que x 1 é a corrente através do indutor, x 2 é a queda de tensão através do capacitor, e I t é a corrente fornecida pela fonte externa.(a) Determine uma matriz fundamental Ψ ( t ) para o sistema homogêneo associado à Eq. (i). Vejao Problema 25 da Seção 7.6.(b) SeI ( t )= e - t 2 , determine a solução do sistema (i) que satisfaz a condição inicial x 0 = 0 .

Ψ t = e - t / 2cos ⁡ t 2 s e nt 2 4 s e nt 2 - 4 cos ⁡ t 2

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.9 - Ex. 13a

O circuito elétrico mostrado na Figura 7.9.1 é descrito pelo sistema de equações diferenciais

Em que é a corrente através do indutor, é a queda de tensão através do capacitor, e é a corrente fornecida pela fonte externa.

(a) Determine uma matriz fundamental para o sistema homogêneo associado à Eq. (i). Veja

o Problema 25 da Seção 7.6.

(b) Se, determine a solução do sistema (i) que satisfaz a condição inicial.

Passo 1

Primeiramente vamos determinar os autovalores e autovetores do sistema, determina a solução geral para um sistema homogêneo e por final iremos trabalhar com sistema não homogêneo.

Determinado os autovalores e autovetores:

Para isto utilizaremos a seguinte relação:

Em que os autovalores serão as raízes do .

Determinando os autovalores:

Tendo as raízes:

Passo 2

Vamos agora determinar o autovetor associado, colocando , temos:

Reduzindo o sistema para:

Para :

Como possuímos autovalores um par complexo conjugado os autovetores também serão um par complexo conjugado:

Passo 3

Caso o sistema fosse homogêneo a solução geral seria:

Determinando :

E como temos que a matriz fundamental é regida por:

Como temos e , podemos determinar a matriz fundamental:

Resposta

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Em cada um dos Problemas 14 e 15, verifique se o vetor dado é a solução geral do sistema homogêneo associado e depois resolva o sistema não homogêneo. Suponha quet0 . t x ' = 2 - 1 3 - 2 x + 1 - t 2 2

Em cada um dos problemas de 1 a 12, encontre a solução geral do sistema de equações dado. x ' = 2 - 1 3 - 2 x + 1 - 1 e t

Considere o sistema x ' = A x = 1 1 1 2 1 - 1 - 3 2 4 x (e) Escreva uma matriz fundamental Ψ ( t ) para o sistema (i).

Considere o sistema x ' = A x = 1 1 1 2 1 - 1 - 3 2 4 x a)Mostre que r = 2 é um autovalor de multiplicidade 3 da matriz de confiecnetes A e que existe apenas um autovetor independe associado, a saber,

Considere o sistema x ' = A x = 1 1 1 2 1 - 1 - 3 2 4 x f) Forme a matriz T com o autovetor ξ 1 na primeira coluna e os autovetores generalizados η e ζ na segunda e terceira colunas. Depois, encontre