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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.9 - Ex. 13a

O circuito elétrico mostrado na Figura 7.9.1 é descrito pelo sistema de equações diferenciais

d x d t = - 1 / 2 - 1 / 8 2 - 1 / 2 x + 1 2 0 I t

Em que x 1 é a corrente através do indutor, x 2 é a queda de tensão através do capacitor, e I t é a corrente fornecida pela fonte externa.

(a) Determine uma matriz fundamental Ψ ( t ) para o sistema homogêneo associado à Eq. (i). Veja

o Problema 25 da Seção 7.6.

(b) Se   I ( t )   = e - t 2 , determine a solução do sistema (i) que satisfaz a condição inicial x 0 = 0 .

Passo 1

Primeiramente vamos determinar os autovalores e autovetores do sistema, determina a solução geral para um sistema homogêneo e por final iremos trabalhar com sistema não homogêneo.

Determinado os autovalores e autovetores:

Para isto utilizaremos a seguinte relação:

A - r I ξ = 0

Em que os autovalores serão as raízes do d e t ⁡ ( A - r I ) .

Determinando os autovalores:

det ⁡ A - r I = - 1 / 2 - 1 / 8 2 - 1 / 2 - r 0 0 r

det ⁡ A - r I = - 1 2 - r - 1 / 8 2 - 1 2 - r

det ⁡ A - r I = r 2 + r + 1 2

Tendo as raízes:

r 1,2 = - 1 2 ± i 2

Passo 2

Vamos agora determinar o autovetor associado, colocando r = - 1 2 + i 2 , temos:

A - r I ξ = 0

- 1 2 - - 1 2 + i 2 - 1 / 8 2 - 1 2 - - 1 2 + i 2 ∙ ξ 1 ξ 2 = 0

Reduzindo o sistema para:

4 i ξ 1 + ξ   2 = 0

Para r = - 1 2 + i 2 :

ξ 1 = 1 - 4 i

Como possuímos autovalores um par complexo conjugado os autovetores também serão um par complexo conjugado:

v = 1 4 i

Passo 3

Caso o sistema fosse homogêneo a solução geral seria:

x = c 1 x 1 + c 2 x 2

Determinando x 1 :

x 1 = 1 - 4 i e - 1 + i 2 t

x 1 = 1 - 4 i e - t 2 ( cos ⁡ t 2 + i   s e n   t 2

x 1 = e - t 2 cos ⁡ t 2 4 s e n   t 2 + i e - t 2 s e n   t 2 - 4 cos ⁡ t 2

E como temos que a matriz fundamental é regida por:

Ψ t = x 1 1 ⋯ x 2 2 ⋮ ⋱ ⋮ x n 1 ⋯ x n 2

Como temos x 1 = e - t 2 cos ⁡ t 2 4 s e n   t 2 e x 2 = e - t 2 s e n   t 2 - 4 cos ⁡ t 2 , podemos determinar a matriz fundamental:

Ψ t = e - t / 2   cos ⁡ t 2 s e n   t 2 4 s e n   t 2 - 4 cos ⁡ t 2

Resposta

Ψ t = e - t / 2   cos ⁡ t 2 s e n   t 2 4 s e n   t 2 - 4 cos ⁡ t 2

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Em cada um dos Problemas 14 e 15, verifique se o vetor dado é a solução geral do sistema homogêneo associado e depois resolva o sistema não homogêneo. Suponha quet0 . t x ' = 2 - 1 3 - 2 x + 1 - t 2 2
Em cada um dos problemas de 1 a 12, encontre a solução geral do sistema de equações dado. x ' = 2 - 1 3 - 2 x + 1 - 1 e t
Considere o sistema x ' = A x = 1 1 1 2 1 - 1 - 3 2 4 x (e) Escreva uma matriz fundamental Ψ ( t ) para o sistema (i).
Considere o sistema x ' = A x = 1 1 1 2 1 - 1 - 3 2 4 x a)Mostre que r = 2 é um autovalor de multiplicidade 3 da matriz de confiecnetes A e que existe apenas um autovetor independe associado, a saber,
Considere o sistema x ' = A x = 1 1 1 2 1 - 1 - 3 2 4 x f) Forme a matriz T com o autovetor ξ 1 na primeira coluna e os autovetores generalizados η e ζ na segunda e terceira colunas. Depois, encontre