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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 8.5 - Ex. 6

Seja f x = k x ² ( 1 - x ) se 0 ≤ x ≤ 1 e f x = 0 se x < 0 ou x > 1 .

  1. Para qual valor de k a função f é uma função densidade de probabilidade?
  2. Para este valor de k , calcule P X ≥ 1 2 .
  3. Calcule a média.

Passo 1

  1. Como no exercício anterior,

    2. 1   f x ≥ 0 para todo x ;

    (2) ∫ - ∞ ∞ f ( x ) d x = ∫ 0 10 f x d x = 1 2 10 0.2 = 1   ( á r e a   d o   t r i â n g u l o ) . Logo, essa é uma função densidade de probabilidade.

    Passo 2

  2. (i) P X < 3 = ∫ 0 3 f x d x = 1 2 3 0.1 = 3 20 = 0.15

    3. (ii) Nós primeiros computamos P ( X > 8 ) e subtraímos esse valor e nossa resposta em (i) para obtermos 1 , que é a probabilidade total.

    P X > 8 = ∫ 8 10 f ( x ) d x = 1 2 2 0.1 = 2 20 = 0.1 . Então, P 3 ≤ X ≤ 8 = 1 - 0.15 - 0.10 = 0.75

    Passo 3

  3. Nós encontramos equações da reta para ( 0,0 ) a ( 6 ,   0.2 ) , e para 6.02 a ( 10,0 ) , e encontramos que

f x = 1 30 x   s e   0 ≤ x < 6 - 1 20 x + 1 2   s e   6 ≤ x < 10 0   e m   o u t r o s   c a s o s

μ = ∫ - ∞ ∞ x f x d x =

∫ 0 6 x 1 30 x d x + ∫ 6 10 x - 1 20 x + 1 2 d x = 1 90 x 3 0 6 + - 1 60 x 3 + 1 4 x 2 6 10 =

216 90 + - 1000 60 + 100 4 - - 216 60 + 36 4 = 16 3 = 5.3

Resposta

  1. f é uma função densidade de probabilidade
  2. 0.75
  3. 5.3
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