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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 7.4 - Ex. 43

Faça uma substituição para expressar o integrando como uma função racional e então calcule a integral.

∫ x 3 x 2 + 1 3 d x

Passo 1

A questão pede para fazermos uma substituição para transformar a integral em uma integral de funções racionais.

Vamos fazer u = x 2 + 1 3 , assim u 3 = x 2 + 1 . Desta forma, 3 u 2 d u = 2 x d x . Temos também que x 2 = u 3 - 1 . Portanto,

∫ x 3 x 2 + 1 3 d x = 3 2 ∫ u 3 - 1 u u 2 d u = 3 2 ∫ u 4 - u d u

Passo 2

Resolvendo a integral, obtemos que

3 2 ∫ u 4 - u d u = 3 2 u 5 5 - u 2 2 + C = 3 10 u 5 - 3 4 u 2 + C

Voltando a variável original:

∫ x 3 x 2 + 1 3 d x = 3 10 x 2 + 1 5 3 - 3 4 x 2 + 1 2 5 + C

Resposta

3 10 x 2 + 1 5 3 - 3 4 x 2 + 1 2 5 + C

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