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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.2 - Ex. 29

(a) Sejam v 1 ,   v 2 e v 3 três vetores ortogonais dois a dois em três dimensões, e seja u qualquer vetor tridimensional. Mostre que

u = a 1 v 1 + a 2 v 2 + a 3 v 3 ,

Em que

a i = u ∙ v i v i ∙ v i , i = 1,2 , 3 .

Mostre que a i pode ser interpretado como a projeção de u na direção de v 1 dividida pelo comprimento de v 1 .

(b) Defina o produto interno ( u , v ) por

∫ - L L u x v x d x

Sejam

n x = cos ⁡ n π x L , n = 0,1 , 2 , … ;

n x = sen ⁡ n π x L , n = 1,2 , … ;

Mostre que a equação

f , n = a 0 2 ∫ - L L cos ⁡ n π x L d x + ∑ m = 1 ∞ a m ∫ - L L cos ⁡ n π x L cos ⁡ n π x L d x + ∑ m = 1 ∞ b m ∫ - L L sen ⁡ n π x L cos ⁡ n π x L d x

Pode ser escrita na forma

f , n = a 0 2 0 , n + ∑ m = 1 ∞ a m m , n + ∑ m = 1 ∞ b m m , n

(c) Use a equação

f , n = a 0 2 0 , n + ∑ m = 1 ∞ a m m , n + ∑ m = 1 ∞ b m m , n

E a equação correspondente para ( f , n ) junto com as relações de ortogonalidade para mostrar que a n = f , n n , n , n = 0,1 , 2 , … ;

b n = ( f , n ) ( n , n ) , n = 1,2 … .

Passo 1

Para começar, vamos dizer que os vetores ortogonais são:

v 1 = v ^ 1 ,

v 2 = v ^ 2 ,

v 3 = v ^ 3

Se u é um vetor tridimensional, podemos expressá-lo como uma combinação linear de três direções ortogonais. Como v 1 ,   v 2 e v 3 são ortogonais dois a dois, podemos expressar u como:

u = a 1 v 1 + a 2 v 2 + a 3 v 3

Nosso próximo passo será determinar:

u ∙ v 1 v 1 ∙ v 1 ,

u ∙ v 2 v 2 ∙ v 2 ,

u ∙ v 3 v 3 ∙ v 3

Vamos começar calculando o produto escalar u ∙ v i

u ∙ v 1 = a 1 v 1 ,   a 2 v 2 ,   a 3 v 3 ∙ v 1 ,   0 ,   0 =

a 1 v 1 2 + a 2 v 2 . 0 + a 3 v 3 ∙ 0 =

u ∙ v 1 = a 1 v 1 2

u ∙ v 2 = a 1 v 1 ,   a 2 v 2 ,   a 3 v 3 ∙ 0 , v 2   ,   0 =

a 1 v 1 ∙ 0 + a 2 v 2 2 + a 3 v 3 ∙ 0 =

u ∙ v 2 = a 2 v 2 2

u ∙ v 3 = a 1 v 1 ,   a 2 v 2 ,   a 3 v 3 ∙ 0 ,   0 ,   v 3 =

a 1 v 1 ∙ 0 + a 2 v 2 ∙ 0 + a 3 v 3 2 =

u ∙ v 3 = a 3 v 3 2

Vamos agora para o produto v i ∙ v i :

v 1 ∙ v 1 = v 1 ,   0 ,   0 ∙ v 1 ,   0 ,   0 =

v 1 ∙ v 1 + 0 ∙ 0 + 0 ∙ 0 =

v 1 ∙ v 1 = v 1 2

v 2 ∙ v 2 = 0 , v 2   ,   0 ∙ 0 , v 2   ,   0 =

0 ∙ 0 + v 2 ∙ v 2 + 0 ∙ 0 =

v 2 ∙ v 2 = v 2 2

v 3 ∙ v 3 = 0 ,   0 ,   v 3 ∙ 0 ,   0 ,   v 3 =

0 ∙ 0 + 0 ∙ 0 + v 3 ∙ v 3 =

v 3 ∙ v 3 = v 3 2

Então

u ∙ v 1 v 1 ∙ v 1 = a 1 v 1 2 v 1 2 = a 1

u ∙ v 2 v 2 ∙ v 2 = a 2 v 2 2 v 2 2 = a 2

u ∙ v 3 v 3 ∙ v 3 = a 3 v 3 2 v 3 2 = a 3

E assim, mostramos o que foi pedido no item (a).

Passo 2

Vamos agora para o item (b). Neste item , começamos determinando que o produto interno é:

u , v = ∫ - L L u x v x d x

Sabendo que n x = cos ⁡ n π x L

E

n x = sen ⁡ n π x L

Podemos escrever que:

0 , n = ∫ - L L 0 x n x d x =

∫ - L L cos ⁡ 0 cos ⁡ n π x L d x =

0 , n = ∫ - L L cos ⁡ n π x L d x

m , n = ∫ - L L m x n x d x =

∫ - L L cos ⁡ m π x L cos ⁡ n π x L d x

m , n = ∫ - L L m x n x d x =

∫ - L L s en ⁡ m π x L cos ⁡ n π x L d x

Se temos a função:

f , n = a 0 2 ∫ - L L cos ⁡ n π x L d x + ∑ m = 1 ∞ a m ∫ - L L cos ⁡ m π x L cos ⁡ n π x L d x + ∑ m = 1 ∞ b m ∫ - L L sen ⁡ m π x L cos ⁡ n π x L d x

Podemos aplicar as substituições 0 , n = ∫ - L L cos ⁡ n π x L d x , m , n = ∫ - L L cos ⁡ m π x L cos ⁡ n π x L d x e m , n = ∫ - L L sen ⁡ m π x L cos ⁡ n π x L d x . Ficamos então com:

f , n = a 0 2 0 , n + ∑ m = 1 ∞ a m m , n + ∑ m = 1 ∞ b m m , n

Passo 3

Agora que demonstramos o que foi pedido no item (b) podemos seguir para o item (c). Nosso primeiro passo para resolver este item será escrever uma equação ( f , n ) análoga à f , n :

f , n = a 0 2 ∫ - L L s en ⁡ n π x L d x + ∑ m = 1 ∞ a m ∫ - L L cos ⁡ m π x L s en ⁡ n π x L d x + ∑ m = 1 ∞ b m ∫ - L L sen ⁡ m π x L s en ⁡ n π x L d x

f , n = a 0 2 0 , n + ∑ m = 1 ∞ a m m , n + ∑ m = 1 ∞ b m m , n

Nosso próximo passo será calcular f , n / n , n :

f , n n , n =

a 0 2 ∫ - L L cos ⁡ n π x L d x + ∑ m = 1 ∞ a m ∫ - L L cos ⁡ m π x L cos ⁡ n π x L d x + ∑ m = 1 ∞ b m ∫ - L L sen ⁡ m π x L cos ⁡ n π x L d x ∫ - L L cos ⁡ n π x L cos ⁡ n π x L d x

Pelas relações ortogonais entre as funções seno e cosseno:

∫ - L L cos ⁡ n π x L cos ⁡ n π x L d x = ∑ m = 1 ∞ ∫ - L L cos ⁡ m π x L cos ⁡ n π x L d x = L

∫ - L L sen ⁡ m π x L cos ⁡ n π x L d x = 0

Então:

f , n n , n = a 0 2 sen ⁡ n π - sen ⁡ - n π + a n L L

f , n n , n = a n L L = a n

Agora que demonstramos a primeira relação vamos mostrar que b n = ( f , n ) ( n , n ) .

( f , n ) ( n , n ) =

a 0 2 ∫ - L L sen ⁡ n π x L d x + ∑ m = 1 ∞ a m ∫ - L L cos ⁡ m π x L sen ⁡ n π x L d x + ∑ m = 1 ∞ b m ∫ - L L sen ⁡ m π x L sen ⁡ n π x L d x ∫ - L L sen ⁡ n π x L sen ⁡ n π x L d x

Pelas relações de ortogonalidade:

∫ - L L cos ⁡ m π x L sen ⁡ n π x L d x = 0

∫ - L L sen ⁡ n π x L sen ⁡ n π x L d x = L

Ficamos então com:

( f , n ) ( n , n ) = a 0 2 cos ⁡ n π - cos ⁡ - n π + b n L L

( f , n ) ( n , n ) = b n L L = b n

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Em cada um dos problemas de 1 a 8, determine se a função dada é periódica. Se for, encontre seu período fundamental. x 2
f x = x + 2 , - 2 ≤ x0 , 2 - 2 x , 0 ≤ x2 f x + 4 = f ( x ) (a) Esboce o gráfico da função dada por três períodos.(b) Encontre a série de Fourier para a equação dada.(c) Faça o gráfico da soma parcial
Suponha que g é uma função integrável e periódica com período T .(a) Se 0 ≤ a ≤ T , mostre que ∫ 0 T g x d x = ∫ a a + T g x d x (b) Mostre que, para qualquer valor de a , não necessariamente em 0 ≤ a
f x = x 2 2 ,- 2 ≤ x2 f x + 4 = f ( x ) (a) Esboce o gráfico da função dada por três períodos.(b) Encontre a série de Fourier para a equação dada.(c) Faça o gráfico da soma parcial s m ( x ) em função