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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.6 - Ex. 1

Construa uma função de Liapunov adequada da forma a x 2 + c y 2 , em que a e c devem ser determinados. Depois, mostre que o ponto crítico na origem é do tipo indicado.

d x d t = - x 3 + x y 2 , d y d t = - 2 x 2 y - y 3 ; a s s i n t o t i c a m e n t e   e s t á v e l

Passo 1

O exercício nos pede para encontrar uma função de Liapunov da forma:

V x , y = a x 2 + c y 2

Para as duas equações ( d x / d t ) e ( d y / d t ) fornecidas. Para isso, vamos começar pela derivada de V . Ela é dada por:

V ˙ = d V d t = d V d x d x d t + d V d y d y d t

V ˙ = 2 a x - x 3 + x y 2 + 2 c y - 2 x 2 y - y 3

Passo 2

Então:

V ˙ = 2 a x - x 3 + x y 2 + 2 c y - 2 x 2 y - y 3

V ˙ = - 2 a x 4 + 2 a x 2 y 2 - 4 c x 2 y 2 - 2 c y 4

V ˙ = - 2 a x 2 x 2 - y 2 + 2 c y 2 y 2 + 2 x 2

Se chamarmos a = 1 e c = 1 , ou qualquer outros valores positivos para as constantes, teremos que V ˙ é negativamente de finida e V é positivamente definida.

Passo 3

Pelo teorema 9.6.1 do livro: se existir uma função V positivamente definida, contínua com derivadas parciais de primeira ordem contínuas, e V ˙ seja uma função negativamente definida em um domínio que contenha a origem ( 0,0 ) , então a origem é um ponto crítico assintoticamente estável.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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