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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.9 - Ex. 6

Sendo y = 3 x^2 - x ache a) Delta y ; b) d y ; c) Delta y - d y .

Passo 1

a) Seja f (x) = 3 x^2 - x , para achar Delta y (variação do y ) , vamos utilizar a fórmula:

Delta y = f (x + Delta x) - f ( x )

Delta y = 3 ( x + Delta x )^2 - (x + Delta x) - ( 3 x^2 - x )

= 3 (x^2 + 2 x Delta x + (Delta x)^2) - x - Delta x - 3 x^2 + x

= 3 x^2 - 3 x^2 - x + x + 6 x Delta x + 3 (Delta x)^2 - Delta x

Delta y = Delta x (6 x - 1) + 3 (Delta x)^2

Passo 2

b) Para achar d y , vamos começar lembrando que se a função f for definida por y = f ( x ) , então a diferencial de y , denotada por d y será dada por d y = f ' (x) Delta x onde x está no domínio de f ' e Delta x é um incremento arbitrário de x . Então temos que:

f (x) = 3 x^2 - x -> f ' (x) = 2 * 3 x - 1 = 6 x - 1

Utilizando a definição acima, ficamos com:

d y = ( 6 x - 1 ) Delta x

Passo 3

c) Agora vamos usar os resultados: Delta y = Delta x (6 x - 1) + 3 (Delta x)^2 e d y = ( 6 x - 1 ) Delta x .

Delta y - d y = Delta x (6 x - 1) + 3 (Delta x)^2 - (6 x - 1) Delta x = 3 (Delta x)^2

Delta y - d y = 3 (Delta x)^2

É o resultado procurado.

Resposta

  1. Delta y = Delta x (6 x - 1) + 3 (Delta x)^2
  2. d y = ( 6 x - 1 ) Delta x
  3. Delta y - d y = 3 (Delta x)^2
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