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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.9 - Ex. 10

Sendo y = (1)/(x) - x^3 ache a) Delta y ; b) d y ; c) Delta y - d y .

Passo 1

a) Seja f (x) = (1)/(x) - x^3 , para achar Delta y (variação do y ) , vamos utilizar a fórmula:

Delta y = f (x + Delta x) - f ( x )

Delta y = (1)/(( x + Delta x )) - ( x + Delta x )^3 - ((1)/(x) - x^3)

= (1)/(( x + Delta x )) - (x^3 + 3 x^2 Delta x + 3 x (Delta x)^2 + (Delta x)^3) - (1)/(x) + x^3

= (1)/(( x + Delta x )) - (1)/(x) - x^3 - 3 x^2 Delta x - 3 x (Delta x)^2 - (Delta x)^3 + x^3

= (x - ( x + Delta x ))/(( x + Delta x ) x) - 3 x^2 Delta x - 3 x (Delta x)^2 - (Delta x)^3

Delta y = (- Delta x)/(( x + Delta x ) x) - 3 x^2 Delta x - 3 x (Delta x)^2 - (Delta x)^3

Passo 2

b) Para achar d y , vamos começar lembrando que se a função f for definida por y = f ( x ) , então a diferencial de y , denotada por d y será dada por d y = f ' (x) Delta x onde x está no domínio de f ' e Delta x é um incremento arbitrário de x . Então temos que:

f (x) = (1)/(x) - x^3 = x^(- 1) - x^3 -> f ' ( x ) = - 1 x^(- 2) - 3 x^2 = - (1)/(x^2) - 3 x^2

Utilizando a definição acima, ficamos com:

d y = (- (1)/(x^2) - 3 x^2) Delta x

Passo 3

c) Agora vamos usar os resultados: Delta y = (- Delta x)/(( x + Delta x ) x) - 3 x^2 Delta x - 3 x (Delta x)^2 - (Delta x)^3 e d y = (- (1)/(x^2) - 3 x^2) Delta x .

Delta y - d y = (- Delta x)/((x + Delta x) x) - 3 x^2 Delta x - 3 x (Delta x)^2 - (Delta x)^3 - (- (1)/(x^2) - 3 x^2) Delta x

= (- Delta x)/((x + Delta x) x) + (Delta x)/(x^2) - 3 x^2 Delta x - 3 x (Delta x)^2 - (Delta x)^3 + 3 x^2 Delta x

Agora vamos deixar no mesmo denominador.

Delta y - d y = (- x * Delta x + Delta x ( x + Delta x ))/((x + Delta x) x^2) - 3 x (Delta x)^2 - (Delta x)^3

Delta y - d y = ((Delta x)^2)/((x + Delta x) x^2) - 3 x (Delta x)^2 - (Delta x)^3

É o resultado procurado.

Resposta

  1. Delta y = (- Delta x)/(( x + Delta x ) x) - 3 x^2 Delta x - 3 x (Delta x)^2 - (Delta x)^3
  2. d y = (- (1)/(x^2) - 3 x^2) Delta x
  3. Delta y - d y = ((Delta x)^2)/((x + Delta x) x^2) - 3 x (Delta x)^2 - (Delta x)^3
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