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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.9 - Ex. 7

Sendo y = x^3 - x^2 ache a) Delta y ; b) d y ; c) Delta y - d y .

Passo 1

a) Seja f (x) = x^3 - x^2 , para achar Delta y (variação do y ) , vamos utilizar a fórmula:

Delta y = f (x + Delta x) - f ( x )

Delta y = ( x + Delta x )^3 - ( x + Delta x )^2 - ( x^3 - x^2 )

= x^3 + 3 x^2 Delta x + 3 x (Delta x)^2 + (Delta x)^3 - ( x^2 + 2 x Delta x + (Delta x)^2 ) - x^3 + x^2

= x^3 - x^3 - x^2 + x^2 + 3 x^2 Delta x + 3 x (Delta x)^2 + (Delta x)^3 - 2 x Delta x - (Delta x)^2

= 3 x^2 Delta x + 3 x (Delta x)^2 + (Delta x)^3 - 2 x Delta x - (Delta x)^2

Delta y = Delta x (3 x^2 - 2 x) + (Delta x)^2 (3 x - 1) + (Delta x)^3

Passo 2

b) Para achar d y , vamos começar lembrando que se a função f for definida por y = f ( x ) , então a diferencial de y , denotada por d y será dada por d y = f ' (x) Delta x onde x está no domínio de f ' e Delta x é um incremento arbitrário de x . Então temos que:

f (x) = x^3 - x^2 -> f ' ( x ) = 3 x^(3 - 1) - 2 x = 3 x^2 - 2 x

Utilizando a definição acima, ficamos com:

d y = ( 3 x^2 - 2 x ) Delta x

Passo 3

c) Agora vamos usar os resultados: Delta y = Delta x (3 x^2 - 2 x) + (Delta x)^2 (3 x - 1) + (Delta x)^3 e d y = ( 3 x^2 - 2 x ) Delta x .

Delta y - d y = Delta x (3 x^2 - 2 x) + (Delta x)^2 (3 x - 1) + (Delta x)^3 - (3 x^2 - 2 x) Delta x

Delta y - d y = (Delta x)^2 (3 x - 1) + (Delta x)^3

É o resultado procurado.

Resposta

  1. Delta y = Delta x (3 x^2 - 2 x) + (Delta x)^2 (3 x - 1) + (Delta x)^3
  2. d y = ( 3 x^2 - 2 x ) Delta x
  3. Delta y - d y = (Delta x)^2 (3 x - 1) + (Delta x)^3
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