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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.9 - Ex. 5

Sendo y = 6 - 3 x - 2 x^2 ache a) Delta y ; b) d y ; c) Delta y - d y .

Passo 1

a) Seja f (x) = 6 - 3 x - 2 x^2 , para achar Delta y (variação do y ) , vamos utilizar a fórmula:

Delta y = f (x + Delta x) - f ( x )

Delta y = 6 - 3 (x + Delta x) - 2 (x + Delta x)^2 - [6 - 3 x - 2 x^2]

= 6 - 3 x - 3 Delta x - 2 (x^2 + 2 x Delta x + (Delta x)^2) - 6 + 3 x + 2 x^2

= 6 - 6 - 3 x + 3 x - 3 Delta x - 2 x^2 + 2 x^2 - 4 x Delta x - 2 (Delta x)^2

= - 3 Delta x - 4 x Delta x - 2 (Delta x)^2

Delta y = Delta x (- 3 - 4 x) - 2 (Delta x)^2

Passo 2

b) Para achar d y , vamos começar lembrando que se a função f for definida por y = f ( x ) , então a diferencial de y , denotada por d y será dada por d y = f ' (x) Delta x onde x está no domínio de f ' e Delta x é um incremento arbitrário de x . Então temos que:

f (x) = 6 - 3 x - 2 x^2 -> f ' (x) = - 3 - 2 * 2 x^(2 - 1) = - 3 - 4 x

Utilizando a definição acima, ficamos com:

d y = ( - 3 - 4 x ) Delta x

Passo 3

c) Agora vamos usar os resultados: Delta y = Delta x (- 3 - 4 x) - 2 (Delta x)^2 e d y = ( - 3 - 4 x ) Delta x .

Delta y - d y = Delta x (- 3 - 4 x) - 2 (Delta x)^2 - (- 3 - 4 x) Delta x = - 2 (Delta x)^2

Delta y - d y = - 2 (Delta x)^2

É o resultado procurado.

Resposta

  1. Delta y = Delta x (- 3 - 4 x) - 2 (Delta x)^2
  2. d y = ( - 3 - 4 x ) Delta x
  3. Delta y - d y = - 2 (Delta x)^2
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Ache d y para: y = x 2 2 x + 3 3
Ache para os valores dados a) Δ y ; b) d y ; c) Δ y - d y . y = x 3 + 1 ;x = 1 ; Δ x = - 0,5
Ache para os valores dados a) Δ y ; b) d y ; c) Δ y - d y . y = 1 x ;x = 3 ; Δ x = - 0 , 2
Ache para os valores dados a) Δ y ; b) d y ; c) Δ y - d y . y = 1 x ;x = - 2 ; Δ x = - 0,1
Ache para os valores dados a) Δ y ; b) d y ; c) Δ y - d y . y = x 2 - 3 x ;x = - 1 ; Δ x = 0,02