Sendo y = 1 / (x^2 + 1) ache a) Delta y ; b) dy ; c) Delta y - d y .

Passo 1

a) Seja f x = 1 x 2 + 1 , para achar Δ y (variação do y ) , vamos utilizar a fórmula:

Δ y = f x + Δ x - f ( x )

Δ y = 1 ( x + Δ x ) 2 + 1 - 1 x 2 + 1

= ( x 2 + 1 ) - x + Δ x 2 + 1 x + Δ x 2 + 1 x 2 + 1

= x 2 + 1 - x + Δ x 2 - 1 x 2 + 2 x Δ x + Δ x 2 + 1 x 2 + 1

= x 2 + 1 - x 2 - 2 x Δ x - Δ x 2 - 1 x 2 + 2 x Δ x + Δ x 2 + 1 x 2 + 1

Δ y = - 2 x Δ x - Δ x 2 x 2 + 2 x Δ x + Δ x 2 + 1 x 2 + 1

Passo 2

b) Para achar d y , vamos começar lembrando que se a função f for definida por y = f ( x ) , então a diferencial de y , denotada por d y será dada por d y = f ' x Δ x onde x está no domínio de f ' e Δ x é um incremento arbitrário de x . Então temos que:

f x = 1 x 2 + 1 = x 2 + 1 - 1       →       f ' x = - 1 x 2 + 1 - 1 - 1 x 2 + 1 ' = - 2 x x 2 + 1 2

Utilizando a definição acima, ficamos com:

d y = - 2 x x 2 + 1 2 Δ x

Passo 3

c) Agora vamos usar os resultados: Δ y = - 2 x Δ x - Δ x 2 x 2 + 2 x Δ x + Δ x 2 + 1 x 2 + 1 e d y = - 2 x x 2 + 1 2 Δ x .

Δ y - d y = - 2 x Δ x - Δ x 2 x 2 + 2 x Δ x + Δ x 2 + 1 x 2 + 1 - - 2 x x 2 + 1 2 Δ x

Δ y - d y = - 2 x Δ x - Δ x 2 x 2 + 2 x Δ x + Δ x 2 + 1 x 2 + 1 + 2 x Δ x x 2 + 1 2      

Δ y - d y = - 2 x Δ x - Δ x 2 x 2 + 1 + 2 x Δ x x 2 + 2 x Δ x + Δ x 2 + 1 x 2 + 2 x Δ x + Δ x 2 + 1 x 2 + 1 2

Δ y - d y = - 2 x 3 Δ x - 2 x Δ x - x 2 Δ x 2 - Δ x 2 + 2 x 3 Δ x + 4 x 2 Δ x 2 + 2 x Δ x 3 + 2 x Δ x x 2 + 2 x Δ x + Δ x 2 + 1 x 2 + 1 2

Δ y - d y = 3 x 2 Δ x 2 + 2 x Δ x 3 - Δ x 2 x 2 + 2 x Δ x + Δ x 2 + 1 x 2 + 1 2

Δ y - d y = ( 3 x 2 - 1 ) Δ x 2 + 2 x Δ x 3 x 2 + 2 x Δ x + Δ x 2 + 1 x 2 + 1 2

É o resultado procurado.

Resposta

  1. Δ y = - 2 x Δ x - Δ x 2 x 2 + 2 x Δ x + Δ x 2 + 1 x 2 + 1
  2. d y = - 2 x x 2 + 1 2 Δ x
  3. Δ y - d y = ( 3 x 2 - 1 ) Δ x 2 + 2 x Δ x 3 x 2 + 2 x Δ x + Δ x 2 + 1 x 2 + 1 2
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