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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.9 - Ex. 8

Sendo y = (1)/(x^2 + 1) ache a) Delta y ; b) d y ; c) Delta y - d y .

Passo 1

a) Seja f (x) = (1)/(x^2 + 1) , para achar Delta y (variação do y ) , vamos utilizar a fórmula:

Delta y = f (x + Delta x) - f ( x )

Delta y = (1)/(( x + Delta x )^2 + 1) - (1)/(x^2 + 1)

= (( x^2 + 1 ) - ((x + Delta x)^2 + 1))/([(x + Delta x)^2 + 1] [x^2 + 1])

= (x^2 + 1 - (x + Delta x)^2 - 1)/([x^2 + 2 x Delta x + (Delta x)^2 + 1] [x^2 + 1])

= (x^2 + 1 - x^2 - 2 x Delta x - (Delta x)^2 - 1)/([x^2 + 2 x Delta x + (Delta x)^2 + 1] [x^2 + 1])

Delta y = (- 2 x Delta x - (Delta x)^2)/([x^2 + 2 x Delta x + (Delta x)^2 + 1] [x^2 + 1])

Passo 2

b) Para achar d y , vamos começar lembrando que se a função f for definida por y = f ( x ) , então a diferencial de y , denotada por d y será dada por d y = f ' (x) Delta x onde x está no domínio de f ' e Delta x é um incremento arbitrário de x . Então temos que:

f (x) = (1)/(x^2 + 1) = (x^2 + 1)^(- 1) -> f ' (x) = - 1 (x^2 + 1)^(- 1 - 1) (x^2 + 1) ' = - (2 x)/((x^2 + 1)^2)

Utilizando a definição acima, ficamos com:

d y = (- (2 x)/((x^2 + 1)^2)) Delta x

Passo 3

c) Agora vamos usar os resultados: Delta y = (- 2 x Delta x - (Delta x)^2)/([x^2 + 2 x Delta x + (Delta x)^2 + 1] [x^2 + 1]) e d y = (- (2 x)/((x^2 + 1)^2)) Delta x .

Delta y - d y = (- 2 x Delta x - (Delta x)^2)/([x^2 + 2 x Delta x + (Delta x)^2 + 1] [x^2 + 1]) - (- (2 x)/((x^2 + 1)^2)) Delta x

Delta y - d y = (- 2 x Delta x - (Delta x)^2)/([x^2 + 2 x Delta x + (Delta x)^2 + 1] [x^2 + 1]) + (2 x Delta x)/((x^2 + 1)^2)

Delta y - d y = ([- 2 x Delta x - (Delta x)^2] (x^2 + 1) + 2 x Delta x [x^2 + 2 x Delta x + (Delta x)^2 + 1])/([x^2 + 2 x Delta x + (Delta x)^2 + 1] [x^2 + 1]^2)

Delta y - d y = (- 2 x^3 Delta x - 2 x Delta x - x^2 (Delta x)^2 - (Delta x)^2 + 2 x^3 Delta x + 4 x^2 (Delta x)^2 + 2 x (Delta x)^3 + 2 x Delta x)/([x^2 + 2 x Delta x + (Delta x)^2 + 1] [x^2 + 1]^2)

Delta y - d y = (3 x^2 (Delta x)^2 + 2 x (Delta x)^3 - (Delta x)^2)/([x^2 + 2 x Delta x + (Delta x)^2 + 1] [x^2 + 1]^2)

Delta y - d y = (( 3 x^2 - 1 ) (Delta x)^2 + 2 x (Delta x)^3)/([x^2 + 2 x Delta x + (Delta x)^2 + 1] [x^2 + 1]^2)

É o resultado procurado.

Resposta

  1. Delta y = (- 2 x Delta x - (Delta x)^2)/([x^2 + 2 x Delta x + (Delta x)^2 + 1] [x^2 + 1])
  2. d y = (- (2 x)/((x^2 + 1)^2)) Delta x
  3. Delta y - d y = (( 3 x^2 - 1 ) (Delta x)^2 + 2 x (Delta x)^3)/([x^2 + 2 x Delta x + (Delta x)^2 + 1] [x^2 + 1]^2)
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Sendo y = 2 x - 1 ache a) Δ y ; b) d y ; c) Δ y - d y .
Ache d y para: y = 3 x x 2 + 2
Ache d y para: y = 3 x 2 - 2 x + 1 3
Ache d y para: y = 4 - x 2
Ache para os valores dados a) Δ y ; b) d y ; c) Δ y - d y . y = x 2 - 3 x ;x = 2 ; Δ x = 0,03