Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.3 - Ex. 36
Quais das séries nos Exercícios 11-40 convergem? E quais divergem? Justifique suas respostas. (Quando estiver checando uma resposta, lembre-se de que pode existir mais de uma forma para determinar a convergência ou divergência da série.)
Passo 1
Olá galerinha, tudo bem com vocês? Vamos lá para mais um exercício?! Relembrando que uma série infinita é a soma de uma sequência infinita de números:
Onde é o -ésimo termo da série.
Sabemos que há uma variedade de testes para determinarmos a convergência ou divergência de uma série infinita. Antes de iniciarmos este exercício iremos relembrar de alguns testes.
- Teste do -ésimo termo:
- A série converge, quando ;
- A série diverge, se não existe ou é diferente de zero.
- Série geométrica:
- A série converge, quando ;
- A série diverge, quando.
- Série :
- A série converge, quando ;
- A série diverge, quando .
- Teste da integral seja uma sequência de termos positivos. Suponha que , onde é uma função contínua, positiva e decrescente de para todo (sendo um inteiro positivo). Então:
- A série converge, se for convergente ();
- A série diverge, se for divergente ().
Passo 2
Então vamos lá para nosso exercício. Para a série dada no enunciado:
Como a série é positiva, contínua e decrescente para , podemos utilizar o teste da integral:
Para resolvermos esta integral, iremos considerar o seguinte:
Logo:
Substituindo os valores:
Passo 3
Para resolvermos a integral, iremos usar a fração parcial:
Para a segunda parte da integral (), iremos considerar:
Logo:
Substituindo:
Pela regra da integral, sabemos:
Então temos:
Como a integral converge (), então a série é convergente.
Resposta
A série converge.