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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.3 - Ex. 43

  1. Desenhe ilustrações como as das Figuras 10.7 e 10.8 para mostrar que as somas parciais da série harmônica satisfaz as desigualdades

    2. ln ⁡ n + 1 = ∫ 1 n + 1 1 x d x ≤ 1 + 1 2 + ⋯ + 1 n ≤ 1 + ∫ 1 n 1 x d x = 1 + ln ⁡ n

  2. Não existe absolutamente nenhuma evidência empírica para a divergência da série harmônica, mesmo que saibamos que ela diverge. As somas parciais simplesmente aumentam muito lentamente. Para compreender o que estamos dizendo, suponha que você tenha começado com s 1 = 1 no dia em que o universo foi criado, 13 bilhões de anos atrás, e adicionado um novo termo a cada segundo. Quão grande aproximadamente a soma parcial s n seria hoje, considerando um ano com 365 dias?

Passo 1

Oi pessoal, vem comigo!

Primeiramente iremos fazer a curva y = f ( x ) de x = 1 a x = n + 1 , temos:

∫ 1 n + 1 1 x d x ≤ 1 + 1 2 + ⋯ 1 n

Gerando a seguinte curva:

Para a curva y = f ( x ) de x = 1 a x = n , temos:

1 + 1 2 + ⋯ 1 n ≤ 1 + ∫ 1 n 1 x d x

Passo 2

Como a série é positiva, contínua e decrescente para x ≥ 1 , podemos utilizar o teste da integral, para encontrarmos o valor da soma

∫ 1 x d x = ln ⁡ x

Como no enunciado fala que adiciona um novo termo a cada segundo, sendo que 1 ano tem 365 dias:

365   d i a s ∙ 24   h 1   d i a ∙ 60   m i n 1   h ∙ 60   s e g 1   m i n = 31,5 ∙ 10 6 s e g

Como queremos para 13 bilhões de anos:

31,5 ∙ 10 6 ∙ 1,3 ∙ 10 10 = 4,095 ∙ 10 17

Então temos:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x 1 4,095 ∙ 10 17

= ln ⁡ 4,095 ∙ 10 17 - ln ⁡ 1 ≈ 40,55

Resposta

  1. Resposta no Passo 1.
  2. ≈ 40,5 5 .

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Se ∑ a n for uma série convergente com termos positivos, é verdade que ∑ sen ⁡ ( a n ) também será convergente?
Mostre que, se a n0 e ∑ a n for convergente, então ∑ ln ⁡ 1 + a n é convergente.
Se ∑ a n e ∑ b n forem ambas séries convergentes com termos positivos, é verdade que ∑ a n b n também será convergente?
Teste a convergência ou divergência da série: ∑ n = 1 ∞ n 2 + 1 n 3 + 1
Teste a convergência ou divergência da série: ∑ n = 1 ∞ n 2 - 1 n 3 + 2 n 2 + 5