Teste a convergência ou divergência das séries.

∑ n = 1 ∞ 2 n - 1

Passo 1

Eae galerinha!!! Tudo certo?

Veja que temos uma situação já conhecida. Temos que descobrir se a seguinte série converge ou não. Veja que essa não é uma integral simples de ser resolvida, o que nos diz que não é interessante usarmos o método da integral, e da mesma forma podemos eliminar o teste da razão. Vamos pensar então no teste da comparação por limite.

Vejamos como é o teste de comparação do limite?

Se ∑ a n e ∑ b n são positivas então eu posso fazer:

lim n → ∞ ⁡ a n b n = c

Se esse valor de c for maior que 0 . Então ambas as séries convergem ou divergem.Geralmente para o teste da comparação se recomenda utilizar as séries harmônicas.E o que são as séries harmônicas? São séries do tipo:

∑ 1 n p

Que são convergentes para: p > 1 .

Vamos então utilizar série harmônica:

∑ 1 n

no Teste de Comparação do Limite, com a n = 2 n - 1 e b n = 1 n , a série harmônica, que sabemos que é divergente:

lim n → ∞ ⁡ a n b n = lim n → ∞ ⁡ 2 1 n - 1 1 n = lim x → ∞ ⁡ 2 1 x - 1 1 x

Passo 2

Vamos usar L’Hôpital para calcular o limite:

lim x → ∞ ⁡ 2 1 x - 1 1 x = lim x → ∞ ⁡ 2 1 x   . ln ⁡ 2   .   - 1 x 2 - 1 x 2

lim x → ∞ ⁡ 2 1 x   . ln ⁡ 2 = 2 0   . ln ⁡ 2 = ln ⁡ 2 > 0

Como chegamos a lim n → ∞ ⁡ a n b n > 0 e a série usada na comparação é divergente, então

∑ n = 1 ∞ 2 n - 1

também é divergente, beleza?

Resposta

Série divergente

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