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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.4 - Ex. 43

Quais das séries nos Exercícios 17-54 convergem? E quais divergem? Utilize qualquer método e justifique suas respostas.

∑ n = 2 ∞ 1 n !

Passo 1

Fala gente tudo bem? Nesse exercício ele quer que apliquemos um método de comparação para descobrir se a série diverge ou converge, então bora.

Esse exercício é muito similar ao anterior, vamos achar a soma parcial de uma série e tentar chegar na série principal. Vamos fazer uma comparação com a série ∑ n = 2 ∞ 1 n ( n - 1 ) :

∑ n = 2 ∞ 1 n n - 1 = ∑ n = 2 ∞ 1 n - 1 - 1 n

A soma parcial para k termos dessa série é dada por:

s k = 1 - 1 2 + 1 2 - 1 3 + … + 1 k - 2 - 1 k - 1 + 1 k - 2 - 1 k

s k = 1 - 1 k ⇒ s k   = 1

para n ≥ 2 :

n - 2 ! ≥ 1

multiplicando ambos os lados por n n - 1 :

n n - 1 n - 2 ! ≥ n ( n - 1 )

n ! ≥ n n - 1

1 n n - 1 ≥ 1 n !

Portanto, a série converge.

Vamos continuar!

Resposta

Converge

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Determine se a série converge ou diverge.sum_(n = 2)^(oo) (sqrt(n))/(n - 1)
Determine se a série converge ou diverge.sum_(n = 1)^(oo) (n - 1)/(n 4^n)
Determine se a série converge ou diverge.sum_(n = 1)^(oo) (4 + 3^n)/(2^n)
Determine se a série converge ou diverge.sum_(n = 1)^(oo) (1 + 4^n)/(1 + 3^n)
Determine se a série converge ou diverge.sum_(n = 1)^(oo) (2 + (- 1)^n)/(n sqrt(n))